Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração

[Faelccmm@xxxxxxx]

Ola Rafael,

Voce poderia me dizer como voce fez a divisao de x^3 + y^3 por (x+y) ?
ps: eu ate conheco a divisao pelo metodo da chave, mas nao estou conseguindo neste caso.



Em uma mensagem de 4/3/2004 03:11:46 Hora padrão leste da Am. Sul, cyberhelp@bol.com.br escreveu:


> Marcelo,
>
> Uma forma de você conseguir "fatorações mágicas" é raciocinar baseando-se
> nas identidades que já conhece, ou ainda, como se se tratassem de equações.
> Por exemplo, vou demonstrar a soma de dois cubos:
>
> x^3 + y^3 = 0 ==> x^3 = -y^3 ==> x = - y ==> x + y = 0
>
> Assim, temos que (x+y) é um dos fatores de x^3 + y^3. Se você utilizar o
> método da chave (algoritmo de Euclides), dividindo x^3 + y^3 por (x+y),
> obterá x^3+y^3 = (x+y)(x^2+y^2-xy).
>
> O seu caso é a soma de três cubos subtraída do triplo do produto das três
> variáveis: x^3+y^3+z^3-3xyz. Aqui o raciocínio usado traria:
> x^3+y^3+z^3-3xyz = 0 ==> x^3+y^3+z^3 = 3xyz. Não se obtém uma resposta
> direta, mas vale a pena observar que a igualdade deixa uma suspeita: o fator
> deve depender de x, y e z. Se você supuser esse fator como (x+y+z) e
> utilizar o método da chave novamente, verá que x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz =
> (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz).
>
> É bastante claro que isso foi uma tentativa, poderia não ter dado certo.
> Fatorar nem sempre é uma tarefa fácil, lembro-me de que Lamé usou a
> fatoração de (X+Y+Z)^7-(X^7+Y^7+Z^7) para provar que o Último Teorema de
> Fermat é verdadeiro para n = 7. E, acredite, o que ele fez não foi nada,
> nada óbvio. Enfim, não há uma receita, mas conhecendo-se (ou
> desconfiando-se) de um fator, isso ajuda muito!
>
> Abraços,
>
> Rafael de A. Sampaio
>
>
>
>
> ----- Original Message -----
> From: "k4ssmat" <k4ssmat@uol.com.br>
> To: "Lista" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Thursday, March 04, 2004 1:56 AM
> Subject: [obm-l] Fatoração
>
>
> Olá,
> sou novo na lista, é uma honra conversar sobre matemática com
> tantos entendidos do assunto.
> Estou estudando para o vestibular e peguei um exercício de
> uma das olimpiadas internacionais de matematica (pelo menos é
> o que dizia no exercicio), que segue abaixo:
>
> Fatore: x^3 + y^3 + z^3 - 3*x*y*z
>
> Consegui fatorar por diversos caminhos diferentes, mas não
> obtendo a resposta. Então peguei a resposta, e a entendi
> perfeitamente, o que me faltou foi visão. Pois a resposta foi
> apenas um outro caminho que eu ainda não tinha tentado.
>
> Gostaria de dicas, ou exercícios que me ajudem a "enxegar"
> essas fatorações. Estou aqui com mais 5 exercícios, sendo 1
> deles de uma olimpiada brasileira de matematica, que ainda
> não consegui fazer e após sua ajuda, espero conseguir.
>
> Obrigado
> Marcelo