Re: [obm-l] A^2005 = I ==> A = I

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Mar 02, 2004 at 01:51:44AM -0300, Claudio Buffara wrote:
> on 02.03.04 00:55, Fábio Dias Moreira at fabio.dias@superig.com.br wrote:
> > Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> said:
> >> Seja A uma matriz real 3x3 tal que A^2005 = I.
> >> Prove que A = I.
> > 
> > Eu acho que A = [1 0 0; 0 cos(t) sen(t); 0 -sen(t) cos(t)], onde t =
> > 2*pi/2005, é tal que A^2005 = I -- pelo menos o PARI-GP concorda comigo.
> 
> Voce estah certo. Os autovalores de A sao 1, e^(it) e e^(-it) e, portanto,
> existe uma matriz inversivel P, de coeficientes complexos, tal que:
> A = P*D*P^(-1), onde D = diag(1,e^(it),e^(-it)).
> Logo, A^2005 = P*D^2005*P(-1) = P*I*P^(-1) = I, apesar de A <> I.
> 
> O meu erro foi supor que, por serem raizes 2005-esimas da unidade, os
> autovalores de A nao poderiam ser raizes de um polinomio de grau 3, a menos
> que eles fossem todos iguais a 1, mas isso eh uma grande besteira e o
> polinomio caracteristico da sua matriz A eh o contra-exemplo.

Talvez uma versão corrigida do problema do Claudio seja:

Seja A uma matriz 3x3 com coeficientes *racionais* tal que A^2005 = I.
Prove que A = I.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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