Re: [obm-l] A^2005 = I ==> A = I

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 02.03.04 00:55, Fábio Dias Moreira at fabio.dias@superig.com.br wrote:

> -----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-----
> Hash: SHA1
> 
> Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> said:
>> Oi, pessoal:
>> 
>> Alguem tem uma solucao elegante pro problema a seguir?
>> 
>> Seja A uma matriz real 3x3 tal que A^2005 = I.
>> Prove que A = I.
>> 
>> Eu consegui fazer mas achei minha solucao horrorosa. Acho que pode haver
>> algum teorema macetoso de algebra linear que eu desconheco.
>> [...]
> 
> Eu acho que A = [1 0 0; 0 cos(t) sen(t); 0 -sen(t) cos(t)], onde t =
> 2*pi/2005, é tal que A^2005 = I -- pelo menos o PARI-GP concorda comigo.
> 
> []s,
> 
> - -- 
> Fábio "ctg \pi" Dias Moreira

Voce estah certo. Os autovalores de A sao 1, e^(it) e e^(-it) e, portanto,
existe uma matriz inversivel P, de coeficientes complexos, tal que:
A = P*D*P^(-1), onde D = diag(1,e^(it),e^(-it)).
Logo, A^2005 = P*D^2005*P(-1) = P*I*P^(-1) = I, apesar de A <> I.

O meu erro foi supor que, por serem raizes 2005-esimas da unidade, os
autovalores de A nao poderiam ser raizes de um polinomio de grau 3, a menos
que eles fossem todos iguais a 1, mas isso eh uma grande besteira e o
polinomio caracteristico da sua matriz A eh o contra-exemplo.

Mais uma vez, muito obrigado.

Um abraco,
Claudio.



=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================