RES: [obm-l] Geometria no plano

["Guilherme" <gui@xxxxxxxxxx>]

Bem difícil mesmo!!!

A solução que encontrei foi esta:

Chame o vértice mais da esquerda de A, o do direita de B e o de cima de
C. Coloque o vértice D entre A e B. Na interseção de AB com CD coloque
E. Na interseção de AE com BC coloque F. (Seria mais fácil se eu pudesse
anexar a figura).
Chamando de a o ângulo EAD, b o ângulo EDB, e c o ângulo EFB, podemos
definir os demais ângulos como:
	AED = b - a
	CEF = b - a
	DBC = 180 - (a + c)
	DCB = c - (b - a)
	CFE = 180 - c

Traçando-se as circunferências circunscritas aos triângulos AED e CEF,
essas interceptam-se nos pontos E e P.
-	Na circunferência circunscrita a ADE, se AED = b - a  , então
APD = b - a (ambos inscritos no arco AD).
-	Na mesma circunferência,DPE = DAE =a (ambos inscritos no arco
DE).
-	Na circunferência circunscrita ao triângulo CEF, se CFE = 180 -
c , então EPC = c , pois são ângulos opostos do quadrilátero inscritível
EPCF.
-	Podemos afirmar, portanto, que a + c , pois DPC = DPE + EPC .
Como DPC = a + c  e DBC = 180 - (a + c) , então DPC + DBC = 180º , o que
prova que a circunferência que circunscreve o triângulo DBC também
circunscreve o quadrilátero DBCP. Logo, P pertence à circunferência
circunscrita ao triângulo DBC.
Na circunferência circunscrita ao triângulo DBC, temos DCB = DPB = c -
(b - a) , pois são ambos ângulos inscritos no arco BD. E se APB = APD +
DPB  , então  APB = (b - a) + (c - (b - a)). Então, APB = c , logo, APB
= AFB o que prova que P e F são pontos pertencentes ao arco capaz do
ângulo c relativo ao segmento AB. Com isso, podemos afirmar que ABFP é
um quadrilátero inscritível e portanto, P pertence à circunferência que
circunscreve o triângulo AFB.
Logo, P é ponto comum às 4 circunferências circunscritas aos 4
triângulos da figura. 


Achei essa questão muito interessante, embora na minha opinião, fuja
muito do nível da maioria dos candidatos.

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em
nome de kleinad@webcpd.com
Enviada em: sexta-feira, 27 de fevereiro de 2004 15:30
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Geometria no plano


Dêem uma olhada também na questão 10 em
http://www.ime.eb.br/~sd3/vestibular/provas9798/mat04.gif . Como provo
isso?

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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