[obm-l] Existe uma solução mais simples?

[Danilo notes <dantas20102001@xxxxxxxxxxxx>]

Pessoal  segue abaixo um problema que achei muito interessante e a forma como fiz pra resolve-lo, gostaria de saber se alguem conhece uma solução mais simples.

 Seja A uma matriz quadrada  n x n tal que  3A^3=A^2+ A + I  prove que  ( A^k)  converge para  B  tal que   B^2=B .   k   é numero   natural.

Solução:

Seja  p(x) =3x^3-x^2-x-1   .   Vamos considerar 2 casos:

i)                    A é uma matriz real .

Observe que  P(x) =( x-1) ( 3x^2+2x+1), como A é matriz real  e  P(A)=0  então  A =I = matriz identidade e daí é imediato que   lim ( A^k) =I =B   e   B^2=B

ii)                   A é uma matriz complexa

Seja  q(x)  o polinômio mínimo de A ,  então  q(A)=0  e  q(x)  pode  ser um dos seguintes polinômios

Q1(x)= x  + 1/3- sqtr(2)i/3     (a)

Q2(x)= x  + 1/3+ sqtr(2)i/3     (b)

Q3(x)=  3x^2+2x+1              ( c )

Q4(x)=  p(x)                           (d)

Nos casos   (a)  e  (b)   temos    A= (-1/3+ sqtr(2)i/3) I    ou   A= (-1/3- sqtr(2)i/3) I    donde é imediato que  lim ( A^k)=0=B   e   B^2=B

No caso (c )  usando o algoritmo da divisão podemos obter polinômios  M(x) e r(x)  de modo que   f (x) =  x^k =  Q3(x)M(x)+ r(x)  onde  r(x)=0  ou  r(x)=ax+b.

Se  r(x)=0  então  segue  que  lim f(A) = lim ( A^k)=0  pois  Q3(A)=0.  No caso em que  r(x) = ax+b  considere  Z1 e Z2  as raízes complexas de  Q3(x),  então temos

f(Z1)= Z1^k= r(Z1)= aZ1+b   daí  0= lim f(Z1)= aZ1+b    (e )  .  De modo análogo temos  0= lim f(Z2)= aZ2+b    (f )   .   resolvendo o sistema  (e )  e  ( f ) obtemos  a=b=0, daí r(x)=0  e neste caso mais uma vez temos  lim f(A) = lim ( A^k)=0  pois  Q3(A)=0.  No caso   ( d )  mais uma vez usando o algoritmo da divisão  podemos obter polinômios M1(x)  e  r1(x)  de modo que   f (x) =  x^k =  Q4(x)M1(x)+ r1(x)  onde  r1(x)=0  ou  r1(x)= nx^2+mx +s .  Se   r1(x) =0 procedemos como no caso anterior para mostrar que  lim ( A^k)=0  ,  se  r1(x)= nx^2+mx +s  então substituímos  x pelas raízes do polinômio  Q4(x)  para obter o sequinte sistema;

1=lim (1)^k = r1(1)  =  n+m+s    (g)

 0= lim f(Z1)= nZ1^2+ m^Z1+s   ( h)

 0= lim f(Z2)= nZ2^2+ m^Z2+s    (i )

resolvendo o sistema   ( g) , ( h)  e  ( i )  obtemos  n= ½   m = 1/3   e  s = 1/6 daí  lim f(A) = lim ( A^k)= r1(A)=1/6 Q4(A)=0 =B    e  B^2=B

---

Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!