Re: RES: [obm-l] geometria

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Feb 26, 2004 at 02:15:58AM -0300, Douglas Ribeiro Silva wrote:
> Mas como seria feita a medida desses angulos Nicolau? Já que num
> triangulo esférico a soma dos ângulos é sempre maior que 180? Pq se
> fossem os ângulos do plano relativo aos 3 pontos que formam o triangulo
> seria mais fácil, especialmente no caso do tetraedro, onde A = B = C =
> 60, mas no caso da esfera eu pelo menos não faço idéia de como se faz.

O ângulo entre dois círculos máximos é o ângulo entre os planos
que os contêm. No caso do tetraedro regular podemos tomar por vértices
os pontos (+-1,+-1,+-1) com o produto das três coordenadas iguais a 1,
Assim cada face é perpendicular ao vetor correspondente à face oposta
e o ângulo A entre duas faces vizinhas é Pi menos o ângulo entre dois
destes vetores. O ângulo entre dois vetores você deve saber calcular,
é só usar o produto interno.
 
> Aproveitando o problema... Gostaria de saber se há como a generalização
> dele: Dado um triedro com vértice no centro de uma esfera de raio R,
> determinar o seu volume em função dos 3 ângulos formados entre as
> semi-retas que formam o triedro. Acho que seria bem interessante,
> cheguei a elaborar algumas idéia sobre isso, mas não tive grandes
> êxitos.

Não sei bem o que você quer dizer com o volume do triedro: o triedro
tem volume obviamente infinito. O que faz sentido calcular é o ângulo
sólido, i.e., a área da interseção do triedro com uma esfera unitária
centrada no vértice do triedro.

É mais fácil dar uma fórmula para o ângulo sólido em função dos ângulos
entre os *planos*, ou seja, os *ângulos* entre os lados do triângulo
esférico cuja área queremos calcular: a fórmula é A + B + C - Pi.
Esta fórmula é um caso especial de um teorema importante em geometria
diferencial, o teorema de Gauss-Bonnet. Note que no caso euclidiano
é impossível obter uma fórmula análoga: existem triângulos semelhantes.
Isto casa com o fato de A + B + C ser sempre igual a Pi: ao dar os
ângulos você só está dando, no fundo, dois números e você precisa
de três números para descrever um triângulo (a menos de isometria).

O que você está pedindo é uma fórmula para a área de um triângulo
esférico em função dos *lados*, uma espécie de versão esférica
de sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Eu não conheço mas não é difícil de obter,
apenas acho que vai ser uma fórmula feia.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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