Re: [obm-l] Teorema de Baire

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Oi Duda,
Obrigado pela sua explicacao. De fato, este conceito
de medir o espaco topologico eh muito interessante. 

Gostaria de chamar a atencao para frase 
(a) não existe função dos reais nos reais contínua
> exatamente nos
> irracionais;

Acho que vc queria dizer outra coisa, certo? na
realidade, existe uma funcao f:R->R continua soh nos
irracionais e descontinua nos racionais. Um exemplo eh
a funcao de Thomae, dada por f(x) =0 se x for
irracional e f(x) = 1/n se x for racional, sendo m e
n>0 inteiros primos entre si tais que m/n = x.
Um abraco
Artur

--- Eduardo Casagrande Stabel
<dudastabel@terra.com.br> wrote:
> Oi, Artur.
> 
> Lendo sua pergunta, me veio uma idéia à cabeça.
> Espero que ajude a
> esclarecer a questão.
> 
> Uma forma de medir o tamanho de um espaço topológico
> (espaço + topologia) é
> verificando se nele, a interseção contável de
> subconjuntos abertos densos é
> não-vazia. Neste caso, dizemos que o espaço é de
> Baire.
> 
> Existem várias formulações de teoremas de Baire. A
> mais tradicional que eu
> costumo ver é que um espaço métrico completo é um
> espaço de Baire. No meu
> livro de Topologia Geral, diz que um subconjunto
> G-delta de um espaço de
> Hausdorff compacto é um espaço de Baire. Tanto faz,
> para o meus propósito.
> 
> O importante é que com este CONCEITO, ou com esta
> FORMA DE MEDIR O TAMANHO
> DO ESPAÇO ou com esta PROPRIEDADE DO ESPAÇO
> TOPOLÓGICO, podemos resolver os
> seguintes problemas:
> 
> (a) não existe função dos reais nos reais contínua
> exatamente nos
> irracionais;
> (b) existem funções contínuas não deriváveis em
> nenhum ponto;
> (c) o plano de Moore não é normal;
> (d) sendo f função dos reais nos reais tal que para
> todo x real existe n
> natural com f^n(x)=0 então f é polinômio.
> 
> O que nos convence de que este conceito é natural,
> pois ele nos possibilita
> resolver (pelo menos de modo fácil) muitos
> problemas. Muitas vezes, o modo
> de resolver um problema é saber olhar para ele de
> forma correta. O exempo
> mais marcante que eu lembro são os problemas da
> quadratura do círculo, da
> trisecção do ângulo e da duplicação da esfera. O
> fato de olher para as
> extensões de corpo, como espaços vetoriais, traz a
> tona o conceito de
> dimensão, que resolve facilmente o problema.
> 
> Abraço,
> Duda.
> 
> From: "Artur Costa Steiner"
> <artur_steiner@yahoo.com>
> > Boa tarde.
> > Eu sei que este assunto eh um tanto fora do
> contexto
> > usual desta lista, mas serah que alguem poderia
> falar
> > um pouco sobre o Teorema de Baire? Eu conheco 
> teorema
> > (ele pode ser encontrado em uma serie de bons
> livros)
> > mas eu ainda nao consegui ter uma boa percepcao
> sobre
> > ele, ainda nao "entrou na massa do meu sangue".
> Foi um
> > processo semelhante com o conceito de conjunto
> > compacto. A principio, eu tive alguma dificuldade
> de
> > assimilar a definicao baseada em cobreturas
> abertas.
> > Mas com o tempo isto me pareceu natural
> > Obrigado a quem puder colaborar.
> > Artur
> 
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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