[obm-l] Quadrado em Triangulo

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

O problema eh este?

Dados: 
um triangulo ABC, retangulo em A, e com hipotenusa medindo 12;
o quadrado AMNP, de lado 4, tal que M pertence a AB, N a BC e P a CA.
Determinar:
as medidas de AB e AC.

Se for, facamos o seguinte:
AB = a, BC = b, BN = x ==> BN = a - 4, PC = b - 4, NC = 12 - x

Alem disso, MN = NP = 4

Teorema de Pitagoras ==> a^2 + b^2 = 144  (*)

Area(ABC) = Area(AMNP) + Area(MBN) + Area(PNC) ==>
ab/2 = 16 + 4(a-4)/2 + 4(b-4)/2 ==>
a + b = ab/4  (**)

Elevando (**) ao quadrado, vem:
a^2 + 2ab + b^2 = (ab)^2/16.

Usando (*), ficamos com: 2ab + 144 = (ab)^2/16 ==>
(ab)^2 - 32*ab - 2304 = 0 ==>
ab = 16*(1 + raiz(10))  (naturalmente, desprezamos a raiz negativa).

Usando (**), deduzimos que:
a + b = 4*(1 + raiz(10))   e   ab = 16*(1 + raiz(10)) ==>

a e b sao as raizes de x^2 - 4*(1+raiz(10))*x + 16*(1+raiz(10)) = 0 ==>

a = 2*(1 + raiz(10) + raiz(7 - 2*raiz(10)))
e
b = 2*(1 + raiz(10) - raiz(7 - 2*raiz(10)))

Ou entao, levando em conta que raiz(7 - 2*raiz(10)) = raiz(5) - raiz(2),

a = 2*(1 + raiz(10) + raiz(5) - raiz(2))
e
b = 2*(1 + raiz(10) - raiz(5) + raiz(2))

ou vice-versa... sem usar Cardano-Tartaglia...

Um abraco,
Claudio.





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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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