Re: [obm-l] Mais grupos

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Feb 19, 2004 at 01:43:51AM -0300, Claudio Buffara wrote:
> 2) Seja G um grupo tal que o centralizador de cada elemento distinto da
> identidade eh um grupo ciclico infinito. Nesse caso, G eh necessariamente um
> grupo livre?

Não, mas eu não sei dar nenhum exemplo realmente fácil.
O melhor que eu tenho a oferecer é o grupo fundamental do bitoro.
Ele pode ser descrito por geradores e relações como <a,b,c,d|[a,b][c,d]=e>.

Uma forma de provar isto é a seguinte. Dê uma estrutura hiperbólica para
o bitoro: seu recobrimento universal agora é o plano hiperbólico.
O grupo fundamental se encarna como um grupo de isometrias de plano
hiperbólico, ou, equivalentemente, como um subgrupo de PSL(2,R).
A coisa notável é que todos os elementos deste grupo são hiperbólicos,
i.e., todos têm autovalores reais quando interpretados como elementos
de PSL(2,R): isto vem do fato de nenhuma transformação de recobrimento
poder ter pontos fixos (f(x) = x) ou quase fixos (|f(x) - x| < epsilon).
Mas duas matrizes hiperbólicas em SL(2,R) só comutam se seus autovetores
forem iguais, ou seja, só se ambas estiverem em um subgrupo de dimensão 1.
Como nosso grupo é discreto, isto dá a conclusão desejada (todo centralizador
é cíclico infinito).

Em tempo, PSL(2,R) é o quociente de SL(2,R) pelo subgrupo {+-I}.

[]s, N.




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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