Re: [obm-l] Mais grupos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 19.02.04 13:01, ronaldogandhi@ig.com.br at ronaldogandhi@ig.com.br wrote:

>> Jah que o problema do automorfismo foi um fiasco, aqui vao mais dois:
>> 
>> 1) Prove que todo grupo finito eh um subgrupo maximal e nao-normal de algum
>> grupo finito. 
> 
> Cláudio desculpe a minha ignorância, mas o
> que é um subgrupo maximal?
> 
A notacao usual eh A <= B <==> A eh subgrupo de B.

Se H eh um subgrupo proprio de G (ou seja H <= G mas H <> G), dizemos que H
eh maximal <==> se existe K tal que H <= K <= G, entao K = H ou K = G.
Ou seja, nao existe nenhum subgrupo "entre" H e G.
> 
>> 
>> 2) Seja G um grupo tal que o centralizador de cada elemento distinto da
>> identidade eh um grupo ciclico infinito. Nesse caso, G eh necessariamente
> um 
>> grupo livre? 
> 
> O que é um grupo livre?
> 
G eh um grupo livre sobre um dado conjunto S <==> G consiste de todas as
sequencias finitas da forma x_1*x_2*...*x_r (r >= 0) onde cada x_i eh um
elemento de S ou o inverso de um elemento de S. Estas sequencias sao
chamadas de "palavras". Incluimos dentre elas, a palavra vazia "e"
(correspondente a r = 0).
A operacao do grupo ("*") eh simplesmente a concatenacao, sujeita a condicao
de que se x e x^(-1) aparecem em sequencia, entao eles se cancelam. A
palavra vazia eha identidade e (x*y)^(-1) = y^(-1)*x^(-1).

Em outras palavras, um grupo livre eh um grupo no qual os geradores nao
estao submetidos a nenhuma restricao.

Por exemplo, o 4-grupo de Klein (igual a {1,a,b,ab}) eh gerado pelos
elementos a e b, mas nao eh livre pois a e b estao sujeitos a restricao:
a^2 = b^2 = 1.

Jah o grupo ciclico infinito eh livre, pois eh gerado por um elemento a,
distinto da identidade, sem qualquer restricao. Assim, consiste apenas dos
elementos da forma a^m, com m inteiro.


Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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