Re: Res: [obm-l] Tradução de conceitos de álgebra

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 19.02.04 12:56, ronaldogandhi@ig.com.br at ronaldogandhi@ig.com.br wrote:

>> 
>> Oi pessoal. 
>> 
>> Alguém sabe como se traduzem as expressões "spliting field" e "a
> polynomial 
>> splits over a field" para a nossa Língua Portuguesa?
> 
> Engraçado. 
> Eu tenho essas mesmas dúvidas pois a maioria dos livros
> que leio sobre grupos é em inglês.  Baseado nos conceitos
> que consegui abstrair dos livros eu costumo traduzir essas
> expressões como "campo/corpo divisor"  (spliting field).
> "Polinomial splits over a field" como "polinômio divide
> sobre o campo/corpo", ou polinômio possui divisor no campo
> /corpo. 

Eu nunca vi um livro de algebra em portugues traduzir "field" como "campo".
Eh sempre "corpo".

Pelo que eu entendi, "splitting field" tem um significado muito preciso. Eh
o menor subcorpo dos complexos que contem todos os coeficientes e todas as
raizes de um dado polinomio. E quando se diz que um polinomio p(x) "splits
over a field", quer-se dizer que este polinomio pode ser expresso como um
produto de fatores lineares, ou seja, na forma:
p(x) = k*(x - a_1)*(x - a_2)*...*(x - a_n) onde k e os a_i pertencem ao tal
corpo.

Imagino que em portugues tambem deve haver uma distincao entre se dizer que
um polinomio SE DECOMPOE e que um polinomio eh apenas REDUTIVEL sobre um
dado corpo.
Por exemplo, p(x) = x^4 + 5x^2 + 4 eh redutivel sobre Q, pois:
p(x) = (x^2 + 1)(x^2 + 4) mas nao se decompoe sobre Q.
Por outro lado, p(x) = (x + i)(x - i)(x + 2i)(x - 2i) SE DECOMPOE sobre Q[i]
e qualquer subcorpo de C que contenha Q[i].

> Não sei se essas traduções estão certas
> (provavelmente não).  Mas entendo que esses conceitos
> estão relacionados ao fato do polinômio ter raízes sobre
> o campo/corpo em questão.  Exemplo Q(sqrt(2)) é o corpo
> constituído de números da forma p+q*sqrt(2)  com p e q
> racionais e o polinômio  P(x) = x^2 - 2  possui divisor
> no corpo Q(sqrt(2)).
> Outras pessoas talvez possam esclarecer melhor isso.
> Na realidade o que os matemáticos propuseram baseados
> no trabalho de Galois, foi justamente o que hoje chamamos
> de extensão de corpos.   Por exemplo, os números da
> forma p+q*sqrt(2) é uma extensão do corpo dos racionais
> em que o número sqrt(2) é acrescentado.  Esse corpo tem
> dimensão 2 quando considerado como espaço vetorial sobre
> os racionais. Um outro exemplo: R(i) = p+q*i com p e q reais
> é um extensão de corpo dos reais, que tem dimensão 2 se
> considerada como espaço vetorial sobre os reais.
> Em livros de grupos se vê muito o símbolo [Q(sqrt(2):Q]
> que quer dizer dimensão de Q(sqrt(2)) sobre Q.

Tome cuidado pois o mesmo simbolo costuma ser usado para dois conceitos
distintos.

No contexto de grupos, se H eh um subgrupo de G, [G:H] eh o indice de H em
G, definido como o numero de classes laterais ("cosets") nas quais G eh
particionado por H (se este numero for finito. Caso contrario, diz-se que
[G:H] = infinito).

No contexto de corpos, [F:K] costuma indicar o grau da extensao F do corpo K
= dimensao de F, visto como um espcao vetorial sobre K.

Um abraco,
Claudio.


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================