Re: [obm-l] Forma canonica...

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Maximizar x*y dado que x + y = 8.

Escreva y = 8 - x, de modo que você quer maximizar f(x) = x*(8 - x) = 8x -
x^2.

A idéia agora é completar o quadrado, ou seja, reescrever f(x) como sendo:
f(x) = -16 + 8x - x^2 + 16 = 16 - (4 - x)^2

Agora fica fácil (espero) ver que f(x) será máximo e igual a 16 quando x =
4, já que um quadrado é sempre não negativo.

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Rick" <rickardorios16@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, February 18, 2001 2:03 PM
Subject: [obm-l] Forma canonica...


> Antes de mais nada, gostaria de perguntar ao prof. Nicolau (ou a qualquer
> outro membro que possa responder), se questoes de fisica (geralmente a
parte
> mais matematica) sao bem vindas na lista. Se nao, alguem poderia me
indicar
> uma outra lista ou site em que possa tirar as minhas duvidas sobre fisica.
> Obrigado.
>
> Deixando de enrolacao [ :) ], vamos ao assunto desse topico.
>
> > > Aproveitando o ensejo, estou com mais uma duvida
> > > neste exercicio:
> > > 1)Dentre todos os numeros reais de soma 8 determine
> > > aqueles cujo produto é
> > > maximo.
> > > O livro respondeu isso atribuindo o seguinte
> > > sistema:
> > > x+z=8  (I)    y=x.z (II)
> > De fato, precisamos ter x+z =8. Hah sem duvida uma
> > infinidade de reais x e z que satiafazem a esta
> > igualdade. A cada par (x,z), temos associado um
> > produto x.z, que o seu livro chamou de y.
> Realmente, existem uma infinidade de numeros x e z que a satisfazem.
Porem,
> minha duvida era outra. Desta maneira temos dois termos (x e z), mas seria
> possivel obter um produto maior utilizando mais termos cuja soma totalize
em
> 8. Por exemplo, temos os numeros reais -6, -2, +16. A soma deles eh 8. Ja
o
> produto eh 192 (imensamente maior que o 16, valor atribuido como produto
> maximo). Portanto, ja vemos que existem outros produtos superiores quando
> usamos mais termos, por isso questionei o uso do livro de apenas dois
> termos.
>
>
> > Tecnicamente, temos uma funcao de R^2 em R dada por
> > f(x,z) = y = xz. Queremos calcular seu minimo quando x
> > e z satifazem aa particularidade de que x+z = 8, isto
> > eh, queremos calcular o minimo de f quando a mesma
> > esta restrita ao subconjunto de R^2 dado por {(x,z) :
> > x+z =8}, o qual eh uma reta em R^2.
> Hum... nao entendi muito bem o conjunto R^2. O que isso quer dizer, que os
> valores do dominio dessa funcao estarao todos elevados ao quadrado?
>
>
> >Neste caso, fica bem facil transformar este problema bidimensional em
> > um unidimensional. De x+z =8, temos que z = 8-x e que
> > y = xz = x(8-x). Vemos agora que y pode ser visto como
> > uma funcao so de x, que no caso eh um trinomio do
> > segundo grau. Jah temos a forma fatorada do mesmo e
> > vemos que suas raizes sao 0 e 8. Vemos tambem que o
> > coeficiente o 2o grau deste trinomio eh negativo, o
> > que nos diz que ele tem um maximo relativo que, no
> > caso de trinomios do segundo grau, eh maximo global.
> Meus conhecimentos matematicos ainda desconhecem a existencia de outros
> "maximos", alem daquele que eh representado pela ordenada do vertice da
> parabola. ..Rs..
>
> > Sabemos que o maximo de um trinomio com tais condicoes
> > ocorre para x* = semi soma das raizes. Logo, x* =
> > (0+8)/2 = 4. Isto nos conduz a z* = 8-4 =4 e a y* =
> > x*.y* = 16. Esta conclusao eh geral, isto eh, se x+z
> > =S, S>0, entao o maior valor do produto x.z ocorre
> > para x* = z* = S/2. Este problema eh um classico e eh
> > muitas vezes enunciado da seguinte forma: dentre todos
> > os retangulos de mesmo perimetro, qual o de maior
> > area? A resposta, pelo que vimos, eh o quadrado.
> Bastante interessante esta conclusao, valeu mesmo!.
>
> > Bom, para provarmos que a solucao a que chegamos e de
> > fato a maxima, usamos normalmente o conceito de
> > deriaada, do Calculo Diferencial. Você já  chegou a
> > estudar este assunto?
> Ainda nao, o unico contato que tive com derivadas foi em um livro de
fisica.
> Para explicar a velocidade instantanea, ele utilizou o conceito de limite
e
> em seguida abordou a expressao an.t^(n-1), isto em uma funcao do tipo
> f(t)=a.t^n, onde a variavel era o tempo. Fora a explicacao superficial, e
o
> entendimento que tenho sobre limite, eu nao tenho a minima ideia do que
> seja. Uma duvida: esse eh um assunto geralmete estudado na universidade ou
> no ensino medio? Aqui na Bahia,  nao cheguei a ve-lo. (eu jah conclui)
>
> > Sugestao: Outro problema bonito - dentre todos os
> > retangulos de mesma area, qual o de menor perimetro?
> > Dentre este retangulos, existe algum de maior
> > perimetro?
> Esse eu ainda tow pensando, assim que responder eu mando pra ca... :D
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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