Re: [Re]:Re: [obm-l] Forma canonica...

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

> Obrigado Artur e Henrique pela explicacao e pela
> resolucao do problema.
Conte comigo (quando eu souber, eh claro.... existem
muito mais assuntos de matematica que eu nao sei do eu
sei...)

> Realmente, agora ficou mais claro o porque da adicao
> do termo "b^2/4a^2".
> Depois disso, eu fiquei pensando sobre qual seria a
> itencao de modificar a
> forma da funcao, transformando-a na diferenca entre
> o quadrado de um binomio
> e uma constante, e cheguei a conclusao que esse
> procedimento era necessario
> para se obter uma expressao que calcula-se as raizes
> da funcao no conjunto
> dos reais, coisa que a antiga expressao nao fazia.
Esta eh de fato a ideia. Desta forma canonica chegamos
aa famosa e engenhosa Formula de Bhaskara (nao estou
certo se escrevi certo o nome deste grande
matematico).
Veja que a formula funciona tambem no caso das raizes
serem complexas nao reais, e tambem no caso geral em
que os coeficientes da equacao do 2o grau sao
complexos.  

> Acho brilhante a
> configuracao da matematica, cheia de "manipulacoes e
> transformacoes", que
> muitas vezes, a primeira vista, pode parecer
> "confusa", mas na verdade tem
> uma logica muito clara por tras de tudo.
Sem dúvida!
> 
> Aproveitando o ensejo, estou com mais uma duvida
> neste exercicio:
> 1)Dentre todos os numeros reais de soma 8 determine
> aqueles cujo produto é
> maximo.
> O livro respondeu isso atribuindo o seguinte
> sistema:
> x+z=8  (I)    y=x.z (II)
De fato, precisamos ter x+z =8. Hah sem duvida uma
infinidade de reais x e z que satiafazem a esta
igualdade. A cada par (x,z), temos associado um
produto x.z, que o seu livro chamou de y.
Tecnicamente, temos uma funcao de R^2 em R dada por
f(x,z) = y = xz. Queremos calcular seu minimo quando x
e z satifazem aa particularidade de que x+z = 8, isto
eh, queremos calcular o minimo de f quando a mesma
esta restrita ao subconjunto de R^2 dado por {(x,z) :
x+z =8}, o qual eh uma reta em R^2. Neste caso, fica
bem facil transformar este problema bidimensional em
um unidimensional. De x+z =8, temos que z = 8-x e que
y = xz = x(8-x). Vemos agora que y pode ser visto como
uma funcao so de x, que no caso eh um trinomio do
segundo grau. Jah temos a forma fatorada do mesmo e
vemos que suas raizes sao 0 e 8. Vemos tambem que o
coeficiente o 2o grau deste trinomio eh negativo, o
que nos diz que ele tem um maximo relativo que, no
caso de trinomios do segundo grau, eh maximo global.
Sabemos que o maximo de um trinomio com tais condicoes
ocorre para x* = semi soma das raizes. Logo, x* =
(0+8)/2 = 4. Isto nos conduz a z* = 8-4 =4 e a y* =
x*.y* = 16. Esta conclusao eh geral, isto eh, se x+z
=S, S>0, entao o maior valor do produto x.z ocorre
para x* = z* = S/2. Este problema eh um classico e eh
muitas vezes enunciado da seguinte forma: dentre todos
os retangulos de mesmo perimetro, qual o de maior
area? A resposta, pelo que vimos, eh o quadrado. 
Bom, para provarmos que a solucao a que chegamos e de
fato a maxima, usamos normalmente o conceito de
deriaada, do Calculo Diferencial. Você já  chegou a
estudar este assunto?
No caso de trinomios do segundo grau, hah tambem uma
prova puramente algebrica, que dispensa o Calculo.

Sugestao: Outro problema bonito - dentre todos os
retangulos de mesma area, qual o de menor perimetro?
Dentre este retangulos, existe algum de maior
perimetro?
Artur   


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