Re: [obm-l] Forma canonica...

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

> Antes de mais nada, gostaria de perguntar ao prof.
> Nicolau (ou a qualquer
> outro membro que possa responder), se questoes de
> fisica (geralmente a parte
> mais matematica) sao bem vindas na lista. 
Acho que nao ha qualquer problema em enviar problemas
de fisica, outros jah enviaram.
> 
>> > > O livro respondeu isso atribuindo o seguinte
> > > sistema:
> > > x+z=8  (I)    y=x.z (II)
> > De fato, precisamos ter x+z =8. Hah sem duvida uma
> > infinidade de reais x e z que satiafazem a esta
> > igualdade. A cada par (x,z), temos associado um
> > produto x.z, que o seu livro chamou de y.
> Realmente, existem uma infinidade de numeros x e z
> que a satisfazem. Porem,
> minha duvida era outra. Desta maneira temos dois
> termos (x e z), mas seria
> possivel obter um produto maior utilizando mais
> termos cuja soma totalize em
> 8. Por exemplo, temos os numeros reais -6, -2, +16.
> A soma deles eh 8. Ja o
> produto eh 192 (imensamente maior que o 16, valor
> atribuido como produto
> maximo). Portanto, ja vemos que existem outros
> produtos superiores quando
> usamos mais termos, por isso questionei o uso do
> livro de apenas dois
> termos.
Veja que o problema foi formulado em termos de 2
numeros reais. O objetivo era encontrar 2 numeros
reais, nao necessariamente distintos, que somassem 8 e
cujo produto fosse o maior possivel. Por isso foram
considerados apenas as variaveis x e z.
> 
> > Tecnicamente, temos uma funcao de R^2 em R dada
> por
> > f(x,z) = y = xz. Queremos calcular seu minimo
> quando x
> > e z satifazem aa particularidade de que x+z = 8,
> isto
> > eh, queremos calcular o minimo de f quando a mesma
> > esta restrita ao subconjunto de R^2 dado por
> {(x,z) :
> > x+z =8}, o qual eh uma reta em R^2.
> Hum... nao entendi muito bem o conjunto R^2. O que
> isso quer dizer, que os
> valores do dominio dessa funcao estarao todos
> elevados ao quadrado?
Nao, nao eh isto. R^2 eh o conjunto dos pares (x,y),
onde x e y pertencem aos reais. Nao vou me estender
mais, quando voce tiver estudado um pouco mais de
matematica vai entender isso facilmente.

> >Neste caso, fica bem facil transformar este
> problema bidimensional em
> > um unidimensional. De x+z =8, temos que z = 8-x e
> que
> > y = xz = x(8-x). Vemos agora que y pode ser visto
> como
> > uma funcao so de x, que no caso eh um trinomio do
> > segundo grau. Jah temos a forma fatorada do mesmo
> e
> > vemos que suas raizes sao 0 e 8. Vemos tambem que
> o
> > coeficiente o 2o grau deste trinomio eh negativo,
> o
> > que nos diz que ele tem um maximo relativo que, no
> > caso de trinomios do segundo grau, eh maximo
> global.
> Meus conhecimentos matematicos ainda desconhecem a
> existencia de outros
> "maximos", alem daquele que eh representado pela
> ordenada do vertice da
> parabola. ..Rs..
OK, daqui hah pouco voce chega lah.
> 
> > Sabemos que o maximo de um trinomio com tais
> condicoes
> > ocorre para x* = semi soma das raizes. Logo, x* =
> > (0+8)/2 = 4. Isto nos conduz a z* = 8-4 =4 e a y*
> =
> > x*.y* = 16. Esta conclusao eh geral, isto eh, se
> x+z
> > =S, S>0, entao o maior valor do produto x.z ocorre
> > para x* = z* = S/2. Este problema eh um classico e
> eh
> > muitas vezes enunciado da seguinte forma: dentre
> todos
> > os retangulos de mesmo perimetro, qual o de maior
> > area? A resposta, pelo que vimos, eh o quadrado.
> Bastante interessante esta conclusao, valeu mesmo!.
> 
> > Bom, para provarmos que a solucao a que chegamos e
> de
> > fato a maxima, usamos normalmente o conceito de
> > deriaada, do Calculo Diferencial. Você já  chegou
> a
> > estudar este assunto?
> Ainda nao, o unico contato que tive com derivadas
> foi em um livro de fisica.
> Para explicar a velocidade instantanea, ele utilizou
> o conceito de limite e
> em seguida abordou a expressao an.t^(n-1), isto em
> uma funcao do tipo
> f(t)=a.t^n, onde a variavel era o tempo. Fora a
> explicacao superficial, e o
> entendimento que tenho sobre limite, eu nao tenho a
> minima ideia do que
> seja. Uma duvida: esse eh um assunto geralmete
> estudado na universidade ou
> no ensino medio? Aqui na Bahia,  nao cheguei a
> ve-lo. (eu jah conclui)

Ok, com o tempo vc vai estudar isto
Artur

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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