RE: [obm-l] Problema

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Realmente o Benedito achou uma solucao extremamente inteligente! Parabens!
Depois que eu havia feito aquela solucao particular considerando numeros
consecutivos, eu observei que ela poderia - de fato nao era - a otima. Aih
me ocorreu uma outra solucao, um tanto diferente da do Benedito.
Se escolhermos m pares e n impares, jah vimos que devemos necessariamente
ter m^2 + m + n^2 = 1987 e desejamos maximizar 3m + 4n. A  solucao otima
inteira nao negativa deste problema leva a valor fa funcao objetivo menor ou
igual ao que obtemos relaxando a restricao de que as variaveis sejam
inteiras e perimitindo que sejam reais nao negativos. Assim, obtemos um
problema de programacao matenatica com funcao objetivo linera e restricao
quadratica. Dah para resover analiticamente. Podemos usar multiplicadores de
Lagrange, neste caso as derivadas parciais do Lagrangeano sao simples, e
chegamos sem maiores dificuldades aas olucao otima. Ou podemos simplesmente
explicitar y em funcao de x - eh facil -, substituir na funcao objetivo,
derivar, analisar um pouco e temos a solucao real otima. Acho que neste caso
o metodo dos mult. De Lagrange eh ateh mais facil, foi o que eu usei (e
confirmei com o Solver da planilha Excel). Realaxando as restricoes de
valores inteiros, temos a sol, otima m= 26,24, n = 35,66 e FO otima de
221,39. Introduzindo-se as restricoes de variaveis inteiras, concluimos que
221 e um limite superior da FO. Podemos assim afirmar que solucoes inteiras
que levem 3m + 4n = 221 sao otimas. 
Nao dah para provar por Analise, mas eh de se esperar que as solucoes otimas
inteiras estejam proximas de 26, 24 35,66 - e isto de fato se verifica nas
solucoes que o Benedito e o Claudio acharam. Eh de se esperar porque temos
funcao objetivo linear - logo convexa e continua - e restricao quadratica,
tambem continua.
Mas para achar os numeros uma vez fixados m e n, acho que soh mesmo por
processos algoritmicos.

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