[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Outra sobre álgebra

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudastabel@xxxxxxxxxxxx>]

From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> on 13.02.04 03:23, Eduardo Casagrande Stabel at dudastabel@terra.com.br
> wrote:
>
> >
> > From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> >> on 12.02.04 23:43, Eduardo Casagrande Stabel at dudastabel@terra.com.br
> >> wrote:
> >>
> >>> Oi colegas da lista.
> >>>
> >>> Seja K um corpo, K[t] o anel de polinômios sobre K e dois polinômios P
e
> > Q
> >>> de K[t] ambos irredutíveis de mesmo grau. É verdade que os aneis
> > quocientes
> >>> (são corpos, na verdade) F = K[t] / (P) e G = K[t] / (Q) são
isomorfos?
> >>>
> >>> Eu imagino que sim pelo isomorfismo h : F --> G que leva (P) + f em
(Q)
> > + f.
> >>> Não tenho boa visão sobre como se corportam esses aneis quocientes do
> > tipo
> >>> de F e G. Alguém sabe um bom livro para ler sobre isto, ou artigo na
> >>> internet?
> >>>
> >>> Um abraço e obrigado por qualquer ajuda.
> >>> Duda.
> >>>
> >> Oi, Duda:
> >>
> >> Se P pertence a K[t] e grau(P) = n, entao K[t] / (P) eh um espaco
vetorial
> >> de dimensao n sobre K. Alem disso, dois espacos vetoriais de mesma
> > dimensao
> >> sobre um mesmo corpo sao isomorfos. Isso prova o resultado. Acho
inclusive
> >> que P nao precisa ser irredutivel (mas nesse caso, o anel quociente nao
> >> serah um corpo)
> >>
> >> Uma boa fonte on-line sobre algebra em geral estah aqui:
> >> http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/
> >>
> >> Um abraco,
> >> Claudio.
> >
> > Eu ACHO que você está se confundindo. Pelo que entendo, há dois
conceitos de
> > isomorfismo envolvidos neste caso. O primeiro é o conceito de
isomorfismo
> > entre espaços vetoriais e o segundo, isomorfismo entre corpos (ou entre
> > anéis). Como os dois espaços vetoriais sobre K tem a mesma dimensão,
fica
> > fácil de estabelecer um isomorfismo, mas isto não implica que este
> > isomorfismo preserve a multiplicação.
> >
> Voce tem toda a razao. Eu misturei os dois conceitos e o problema estah
> justamente na multiplicacao.
>
> Por enquanto o que eu fiz foi o seguinte:
>
> Como K eh um corpo, podemos supor s.p.d.g. que P(x) e Q(x) sao monicos de
> grau n+1 (n+1 e nao n pra facilitar a notacao mais adiante).
>
> Seja a uma raiz de P(x). Como P(x) eh irredutivel, P(x) serah o polinomio
> minimo de a. Entao K[a] eh uma extensao algebrica (e portanto finita) de K
e
> (isso eu tenho certeza) K[x]/(P(x)) eh isomorfo a K[a].
>
> Da mesma forma, se b eh uma raiz de Q(x), entao K[x]/(Q(x)) eh isomorfo a
> K[b].
>
> Mas:
> K[a] = {u_0 + u_1*a + u_2*a^2 + ... + u_n*a^n | u_i pertence a K}
> e
> K[b] = {v_0 + v_1*b + v_2*b^2 + ... + v_n*b^n | v_i pertence a K}.
>
> Serah que K[a] e K[b] sao isomorfos?
>
> Eu acho que sim. O que voce acha?

Oi, Cláudio.

Eu acho o mesmo que você. Eu acho também que o desejado isomorfismo entre
corpos é aquele mais natural possível que leva os coeficientes u_i nos
mesmos coeficientes v_i. Mas aí surge o problema de que não sei onde vou
entrar com a informação de que P e Q são irredutíveis. O que me indica que
eu não estou sabendo ENTENDER direito estes conceitos e corpos.

Bom, como estou de férias e fui convidado para ir à praia (aqui em Porto
Alegre, não há praia ;) ), vou passar este final de semana nela, e não vou
ler mais as mensagens. Só segunda-feira, quando voltar. Até lá, não
responderei portanto, mas vou pensar mais na questão e assim que chegar vou
ver as mensagens da lista.

Não sei se você concorda comigo. Mas acho que os livros (pelo menos os que
eu já li) passam rápido demais por anéis do tipo R[x] / (P) e não esclarecem
grande coisa, ou será que somos nós com uma dificuldade boba...?

Abração e valeu!
Duda.

> > Posso estar dizendo uma grande bobagem, mas o exemplo abaixo me sugere
que
> > não:
> >
> > Se P e Q são polinômios em t sobre K, P é irredutível e Q não é então F
=
> > K[t] / (P) é um corpo mas G = K[t] / (Q) não é. É impossível que haja um
> > isomorfismo (de anél) entre F e G, pois neste caso ambos seriam corpos.
O
> > que me sugere que neste caso eles não são isomorfos.
> >
> Concordo com o argumento.
>
> > Obrigado pela resposta e pela indicação do site.
> >
> > Você já leu o livro "Galois Theory", do Ian Stewart? Estou estudando por
> > ele, e me surgiu esta dúvida em um dos exercícios do livro. Na verdade,
esta
> > é a segunda, a outra foi sobre Zn*.
> >
> Ainda nao. Esse semestre eu pretendo fazer um curso sobre esse assunto na
> USP. Espero estar mais afiado em julho...
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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