Re: [obm-l] Re: [obm-l] Outra sobre álgebra

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 13.02.04 03:23, Eduardo Casagrande Stabel at dudastabel@terra.com.br
wrote:

> 
> From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
>> on 12.02.04 23:43, Eduardo Casagrande Stabel at dudastabel@terra.com.br
>> wrote:
>> 
>>> Oi colegas da lista.
>>> 
>>> Seja K um corpo, K[t] o anel de polinômios sobre K e dois polinômios P e
> Q
>>> de K[t] ambos irredutíveis de mesmo grau. É verdade que os aneis
> quocientes
>>> (são corpos, na verdade) F = K[t] / (P) e G = K[t] / (Q) são isomorfos?
>>> 
>>> Eu imagino que sim pelo isomorfismo h : F --> G que leva (P) + f em (Q)
> + f.
>>> Não tenho boa visão sobre como se corportam esses aneis quocientes do
> tipo
>>> de F e G. Alguém sabe um bom livro para ler sobre isto, ou artigo na
>>> internet?
>>> 
>>> Um abraço e obrigado por qualquer ajuda.
>>> Duda.
>>> 
>> Oi, Duda:
>> 
>> Se P pertence a K[t] e grau(P) = n, entao K[t] / (P) eh um espaco vetorial
>> de dimensao n sobre K. Alem disso, dois espacos vetoriais de mesma
> dimensao
>> sobre um mesmo corpo sao isomorfos. Isso prova o resultado. Acho inclusive
>> que P nao precisa ser irredutivel (mas nesse caso, o anel quociente nao
>> serah um corpo)
>> 
>> Uma boa fonte on-line sobre algebra em geral estah aqui:
>> http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/
>> 
>> Um abraco,
>> Claudio.
> 
> Eu ACHO que você está se confundindo. Pelo que entendo, há dois conceitos de
> isomorfismo envolvidos neste caso. O primeiro é o conceito de isomorfismo
> entre espaços vetoriais e o segundo, isomorfismo entre corpos (ou entre
> anéis). Como os dois espaços vetoriais sobre K tem a mesma dimensão, fica
> fácil de estabelecer um isomorfismo, mas isto não implica que este
> isomorfismo preserve a multiplicação.
>
Voce tem toda a razao. Eu misturei os dois conceitos e o problema estah
justamente na multiplicacao.

Por enquanto o que eu fiz foi o seguinte:

Como K eh um corpo, podemos supor s.p.d.g. que P(x) e Q(x) sao monicos de
grau n+1 (n+1 e nao n pra facilitar a notacao mais adiante).

Seja a uma raiz de P(x). Como P(x) eh irredutivel, P(x) serah o polinomio
minimo de a. Entao K[a] eh uma extensao algebrica (e portanto finita) de K e
(isso eu tenho certeza) K[x]/(P(x)) eh isomorfo a K[a].

Da mesma forma, se b eh uma raiz de Q(x), entao K[x]/(Q(x)) eh isomorfo a
K[b].

Mas:
K[a] = {u_0 + u_1*a + u_2*a^2 + ... + u_n*a^n | u_i pertence a K}
e
K[b] = {v_0 + v_1*b + v_2*b^2 + ... + v_n*b^n | v_i pertence a K}.

Serah que K[a] e K[b] sao isomorfos?
 
Eu acho que sim. O que voce acha?

> Posso estar dizendo uma grande bobagem, mas o exemplo abaixo me sugere que
> não:
> 
> Se P e Q são polinômios em t sobre K, P é irredutível e Q não é então F =
> K[t] / (P) é um corpo mas G = K[t] / (Q) não é. É impossível que haja um
> isomorfismo (de anél) entre F e G, pois neste caso ambos seriam corpos. O
> que me sugere que neste caso eles não são isomorfos.
>
Concordo com o argumento.
 
> Obrigado pela resposta e pela indicação do site.
> 
> Você já leu o livro "Galois Theory", do Ian Stewart? Estou estudando por
> ele, e me surgiu esta dúvida em um dos exercícios do livro. Na verdade, esta
> é a segunda, a outra foi sobre Zn*.
>
Ainda nao. Esse semestre eu pretendo fazer um curso sobre esse assunto na
USP. Espero estar mais afiado em julho...

Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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