[obm-l] Re: [obm-l] Outra sobre álgebra

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudastabel@xxxxxxxxxxxx>]

From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> on 12.02.04 23:43, Eduardo Casagrande Stabel at dudastabel@terra.com.br
> wrote:
>
> > Oi colegas da lista.
> >
> > Seja K um corpo, K[t] o anel de polinômios sobre K e dois polinômios P e
Q
> > de K[t] ambos irredutíveis de mesmo grau. É verdade que os aneis
quocientes
> > (são corpos, na verdade) F = K[t] / (P) e G = K[t] / (Q) são isomorfos?
> >
> > Eu imagino que sim pelo isomorfismo h : F --> G que leva (P) + f em (Q)
+ f.
> > Não tenho boa visão sobre como se corportam esses aneis quocientes do
tipo
> > de F e G. Alguém sabe um bom livro para ler sobre isto, ou artigo na
> > internet?
> >
> > Um abraço e obrigado por qualquer ajuda.
> > Duda.
> >
> Oi, Duda:
>
> Se P pertence a K[t] e grau(P) = n, entao K[t] / (P) eh um espaco vetorial
> de dimensao n sobre K. Alem disso, dois espacos vetoriais de mesma
dimensao
> sobre um mesmo corpo sao isomorfos. Isso prova o resultado. Acho inclusive
> que P nao precisa ser irredutivel (mas nesse caso, o anel quociente nao
> serah um corpo)
>
> Uma boa fonte on-line sobre algebra em geral estah aqui:
> http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/
>
> Um abraco,
> Claudio.

Eu ACHO que você está se confundindo. Pelo que entendo, há dois conceitos de
isomorfismo envolvidos neste caso. O primeiro é o conceito de isomorfismo
entre espaços vetoriais e o segundo, isomorfismo entre corpos (ou entre
anéis). Como os dois espaços vetoriais sobre K tem a mesma dimensão, fica
fácil de estabelecer um isomorfismo, mas isto não implica que este
isomorfismo preserve a multiplicação.

Posso estar dizendo uma grande bobagem, mas o exemplo abaixo me sugere que
não:

Se P e Q são polinômios em t sobre K, P é irredutível e Q não é então F =
K[t] / (P) é um corpo mas G = K[t] / (Q) não é. É impossível que haja um
isomorfismo (de anél) entre F e G, pois neste caso ambos seriam corpos. O
que me sugere que neste caso eles não são isomorfos.

Obrigado pela resposta e pela indicação do site.

Você já leu o livro "Galois Theory", do Ian Stewart? Estou estudando por
ele, e me surgiu esta dúvida em um dos exercícios do livro. Na verdade, esta
é a segunda, a outra foi sobre Zn*.

Um abraço,
Duda.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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