Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Claudio e demais colegas
desta lista ...  OBM-L,

Por favor, me desculpe pela demora. E peco tambem desculpas a outros, como o 
Duda. Se nao
estou respondendo e por absoluta falta de tempo. Vou tentar esclarecer, 
mesmo sendo breve.

Se G e um grupo e "a" e "b" estao em G entao <a,b>=a*b*(a^(-1))*(b^(-1)) e 
chamado o
comutador de "a" e "b". E facil ver que :

1) <a,b>=1 <=> ab=ba
2) <a,b>^(-1) = <b,a>
3) f(<a,b>)=<f(a),f(b)>, f homomorfismo

Se D(G)={<a,b> / a, b em G } entao D(G) e um grupo. Claramente :

4) G e abeliano <=> D(G)={e}

Agora, respondendo :

1) NAO. Para ver isso  claramente, considere o grupo simetrico S(E) onde
E={1,...,8,a,...,h} e seja A 0 subgrupo gerado pelas permutacoes (1 3)(2 4),
(5 7)(6 8), (a b)(8 c), (e g)(f h), (1 3)(5 7)(a c), (1 2)(3 4)(e h),
(5 6)(7 8)(e f)(g h), (a b)(c d).

O elemento (a c)(b d)(e g)(f h) esta em D(A) e nao e um comutador

2) Eles sao usados em grupos soluveis ( no sentido de Galois ). Mas talvez
a propriedade mais notavel e que eles sao um subgrupo completamente
invariante, vale dizer, f(D(G)) esta contido em D(G) para todo
endomorfismo f de G.

ACRESCIMO :

Existe uma outra forma de olhar os comutadores, a meu ver mais sintetica
e elegante. Ela parte da ideia de subgrupo gerado por um conjunto, isto e,
A esta em G entao :

A'={a1*A2*...*An, onde Ai esta em A ou (Ai)^-1 esta em A }

Mas isso e outra historia. Finalmente, gostaria de dizer que a sua
solucao ficou um pouco longa ( ou talvez um pouco trabalhosa )
porque voce so usou conceitos basicos, isto e, demonstrou ou construi
tudo. Veja os teoremas com mais calma e voce vai descobrir que, conforme
eu falei, o problema e simples e pode ser feito em uma linha.

Em marco eu vou estar mais calmo e tranquilo e vou tentar escrever
um pouco sobre algebra.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
6,2013,120204

EM TEMPO : A mensagem abaixo e uma demonstracao de que a nossa lista e 
assistida por
estudantes de outros paises, alem da America do Sul. Isso e uma prova de 
nossa utilidade
e da validade de nosso esforco. Eu nao estou podendo atender esta moca ou 
Senhora.
Se alguem puder ajudar, eu agradeco.

>boa tarde.
>
>sou aluna do 4 ano de matematica ensino em portugal, tenho um trabalho a 
>desenvolver numa disciplina onde tenho que pesquisar tudo mas tudo mesmo 
>sobre o tema  Axiomas de escolha :Lema de ZORN!. estava a navegar na 
>internet e li uma carta sua onde tem ideias geniais sobre este assunto o 
>meu pedido era, caso possivel, que me ajudasse pois eu nunca ouvi falar 
>neste tema e estou completamente Às escuras não sei nada de nada sobre 
>axiomas de escolhas!!!
>
>
>
>muito obrigada por tudo o meu e-mail é margarida_sarmento@hotmail.com

>From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
>Date: Wed, 11 Feb 2004 13:36:17 -0200
>Caro Paulo:
>
>Aqui vai minha solucao (um tanto tardia) pra este problema. Por favor de 
>uma
>olhada nas minhas duvidas mais abaixo.
>
>Dados a, b em G, entendo que o comutador de a e b eh igual a
>a*b*a^(-1)*b^(-1).
>
>No caso, precisamos provar 2 coisas:
>1) G' eh um subgrupo normal de G;
>2) G/G' eh abeliano.
>
>1) Suponhamos que G' seja de fato um subgrupo de G (veja duvida (1) 
>abaixo).
>Seja g um elemento de G. Dados a, b em G, teremos:
>g*(a*b*a^(-1)*b^(-1))*g^(-1) =
>(g*a*g^(-1))*(g*b*g^(-1))*(g*a^(-1)*g^(-1))*(g*b^(-1)*g^(-1)).
>
>Mas, se pusermos x = g*a*g^(-1) e y = g*b*g^(-1), o produto acima fica:
>x*y*x^(-1)*y^(-1) = comutador de x e y, o qual pertence a G', pois x e y
>pertencem a G.
>
>Isso prova que G' eh um subgrupo normal em G.
>
>-----
>
>2) Sejam a*G' e b*G' dois elementos de G/G'. Entao:
>a*G' * b*G' =
>a*b*G' =
>a*b*(b^(-1)*a^(-1)*b*a)*G' =
>a*(b*b^(-1))*a^(-1))*(b*a)*G' =
>(a*a^(-1))*b*a*G' =
>b*a*G' =
>b*G' * a*G' ==>
>G/G' eh abeliano.
>
>***
>
>Ainda tenho duas duvidas:
>1) O produto de dois comutadores eh sempre um comutador? Isso eu nao
>conseguim provar.
>2) Pra que servem os comutadores?
>
>Um abraco,
>Claudio.
>
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>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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