Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 20.10.03 10:11, Paulo Santa Rita at p_ssr@hotmail.com wrote:

> 
> 1) Seja G um grupo e G' o subgrupo dos comutadores. Prove que o quociente
> G/G' e abeliano.
> 
Caro Paulo:

Aqui vai minha solucao (um tanto tardia) pra este problema. Por favor de uma
olhada nas minhas duvidas mais abaixo.
 
Dados a, b em G, entendo que o comutador de a e b eh igual a
a*b*a^(-1)*b^(-1).

No caso, precisamos provar 2 coisas:
1) G' eh um subgrupo normal de G;
2) G/G' eh abeliano.

1) Suponhamos que G' seja de fato um subgrupo de G (veja duvida (1) abaixo).
Seja g um elemento de G. Dados a, b em G, teremos:
g*(a*b*a^(-1)*b^(-1))*g^(-1) =
(g*a*g^(-1))*(g*b*g^(-1))*(g*a^(-1)*g^(-1))*(g*b^(-1)*g^(-1)).
 
Mas, se pusermos x = g*a*g^(-1) e y = g*b*g^(-1), o produto acima fica:
x*y*x^(-1)*y^(-1) = comutador de x e y, o qual pertence a G', pois x e y
pertencem a G.

Isso prova que G' eh um subgrupo normal em G.

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2) Sejam a*G' e b*G' dois elementos de G/G'. Entao:
a*G' * b*G' = 
a*b*G' = 
a*b*(b^(-1)*a^(-1)*b*a)*G' =
a*(b*b^(-1))*a^(-1))*(b*a)*G' =
(a*a^(-1))*b*a*G' =
b*a*G' = 
b*G' * a*G' ==>
G/G' eh abeliano.

***

Ainda tenho duas duvidas:
1) O produto de dois comutadores eh sempre um comutador? Isso eu nao
conseguim provar.
2) Pra que servem os comutadores?

Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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