Re: [obm-l] Problema para Artur

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Problema  para Artur

Bem, o Shine jah deu um exemplo (de fato, uma familia infinita de exemplos) de numeros transcendentes x tais que x^x eh algebrico. Me parece claro que ha apenas uma infinidade enumeravel de tais x.

on 12.02.04 19:54, Bruno Lima at bbslima@yahoo.com.br wrote:

Valeu pela resposta, quanto ao ex raiz de 2, eu queria convencer o Artur de que alg^alg pode ser trans ou algebrico , e assim perguntava no caso tran^tran, mas eu realmente me expressei mal...me desculpe, quanto a resposta eu nao tenho a menos ideia.

Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Oi, Bruno:

Existe um teorema (provado por Gelfond e Schneider) que diz que se a e b são algébricos, com a <> 0, a <> 1 e b irracional, então a^b é transcendente. Uma demonstração disso está contida nas notas de aula que eu recomendei pro Artur numa mensagem anterior.

Por outro lado, não conheço nenhum resultado geral sobre a natureza de a^b quando a e b são transcendentes (o que não quer dizer absolutamente nada - um tal resultado pode muito bem existir! Você conhece algum?).

Um argumento de cardinalidade mostra que x^x deve assumir pelo menos um valor transcendente para algum x transcendente.
Considere a partição do intervalo [1,+inf) = A U T, onde A = conjunto dos algébricos no intervalo e T = conjunto dos transcendentes no intervalo.
Seja F: [1,+inf) --> [1,+inf) dada por F(x) = x^x. F é claramente uma bijeção.
Como A é enumerável, F(A) é enumerável.
Se F(T) só contém números algébricos, então F(T) também é enumerável.
Logo, (1,+inf] = F((1,+inf]) = F(A U T) = F(A) U F(T) é enumerável ==>
contradição ==>
F(T) deve conter algum transcendente (de fato, uma infinidade não-enumerável deles).

A questão que permanece é: existe algum transcendente x tal que x^x é algébrico?

O caso x = raiz(2) não parece ajudar muito, pois raiz(2) é algébrico.
De qualquer forma, o teorema de Gelfond-Schneider com a = b = raiz(2) mostra que raiz(2)^raiz(2) é transcendente.

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: Bruno Lima <mailto:bbslima@yahoo.com.br>  
To: OBM lISTA <mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>  
Sent: Thursday, February 12, 2004 1:49 PM
Subject: [obm-l] Problema para Artur

Agora que vc esta pensando sobre numeros algebricos e transcendentes uma  questao interessante é a seguinte: seja x transcendente, entao x elevado a x é algebrico ou transcendente??
pense primeiro no caso x= raiz qudrada de 2.

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