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Renato,
Embora n�o haja como fazer um esbo�o do problema,
tentarei descrever ao m�ximo o meu racioc�nio.
Ap�s a constru��o da figura, teremos um
quadril�tero BPNC. Sabemos da Geometria que os �ngulos BCN e BPN s�o
suplementares. Mas BCN � reto, pois C � v�rtice do quadrado ABCD. Logo, o �ngulo
BPN tamb�m � reto.
Como AB = BC = CD = AD, os pontos M e N dividem AD
e CD em segmentos de mesma medida. AB � congruente a AD, o �ngulo BAM
� congruente ao �ngulo ADN, AM � congruente a DN, logo os tri�ngulos
ret�ngulos BAM e ADN s�o congruentes, pelo crit�rio de congru�ncia LAL. Dessa
forma, AN � congruente a BM.
Tomando a medida do lado do quadrado
ABCD por L e aplicando o teorema de Pit�goras no tri�ngulo BAM,
teremos:
(BM)^2 = (AM)^2 + (AB)^2 = (L/2)^2 + (L)^2
<=> BM = 5*sqrt(L)/2
Observando que o segmento AP � altura do tri�ngulo
ret�ngulo BAM, pois os �ngulos APM e BPN s�o opostos pelo v�rtice P, aplicaremos
a rela��o que diz algo como "o produto dos catetos de um tri�ngulo ret�ngulo �
igual ao produto da sua hipotenusa e da altura (em rela��o �
hipotenusa)":
AB*AM = BM*AP <=> L*L/2 = 5*sqrt(L)/2*AP
<=> AP = L*sqrt(L)/5
Aplicando o teorema de Pit�goras no tri�ngulo
ret�ngulo APM:
(AP)^2 + (PM)^2 = (AM)^2 <=>
[L*sqrt(L)/5]^2 + (PM)^2 = (L/2)^2 <=> PM = L*sqrt(25-4L)/10
Por fim, a �rea A do tri�ngulo APM ser� a metade do
produto de seus catetos:
A = AP*PM/2 = [L*sqrt(25-4L)/10]*[L*sqrt(L)/5]/2 =
L^2*sqrt(25L-4L^2)/100
Visto que o enunciado solicita a �rea A em fun��o
de S e S = L^2, temos:
A = S*sqrt[25*sqrt(S)-4S]/100
� uma bonita quest�o, espero que a resolu��o esteja
correta.
Abra�os,
Rafael de A. Sampaio
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