Re: [obm-l] Inversíveis de Z/nZ

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 11.02.04 03:27, Eduardo Casagrande Stabel at dudastabel@terra.com.br
wrote:

> Olá pessoal da lista.
> 
> Muitas vezes já li sobre o grupo multiplicativa dos elementos inversíveis de
> Z/nZ para n inteiro positivo, contudo nunca me perguntei sobre a estrutura
> desse grupo. Ainda nem pensei na questão e estou propondo ela na lista para
> que outras pessoas também pensem sobre isto. Se alguém tiver algum
> comentário, ficarei grato.
> 
> Abração,
> Duda.
> 
> PS. Raramente, eu dou sinal de vida quando respondem a uma mensagem minha.
> Mas isto não quer dizer que eu não leia as respostas. Eu sempre leio. Acho
> que não cabe ficar enchendo a lista com mensagens de agradecimento. Eu
> assumo, também, que quando respondo a alguém este alguém lê. A maioria deve
> agir assim. Não entendo por que algumas pessoas ficam sentidas por não terem
> resposta...
> 
Oi, Duda:

Esse grupo eh normalmente denotado por U_n e eh sempre abeliano.

Se n = 2, 4, p^k ou 2*p^k (p: primo impar e k: inteiro positivo), entao U_n
eh ciclico e isomorfo a C_Phi(n). Este eh o caso em que existem raizes
primitivas mod n.

Caso contrario, seja n = 2^k * p^x * ... * q^y, onde p, q sao primos
impares. Entao:
k >= 2 ==> U_n = C_2 x C_2^(k-2) x C_(p^x-p^(x-1)) x ... x C_(q^y-q^(y-1))
k <= 1 ==> U_n = C_(p^x-p^(x-1)) x ... x C_(q^y-q^(y-1))
onde:
C_m = grupo ciclico de ordem m (isomorfo a (Z/mZ,+))
e
o sinal de igualdade significa "eh isomorfo a"
Se n = 2^k (k >= 3), entao U_n eh isomorfo a C_2 x C_2^(k-2)  (C_m: grupo
ciclico de ordem m, isomorfo ao grupo aditivo Z/mZ).

Espero que isso ajude.

Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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