Re: [obm-l] Problema Interessante

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 10.02.04 18:21, Artur Costa Steiner at artur_steiner@yahoo.com wrote:

> 
>> N?o tenho certeza se o erro foi meu, mas a parte
>> real
>> ? um n?mero alg?brico, mas em geral n?o ? um inteiro
>> alg?brico; por outro lado o dobro da parte real ? um
>> 
>> inteiro alg?brico (tome z = 1/2 + i sqrt(3)/2).
>> 
>> []s, N.
> 
> Nao Nicolau, na sua mensagem nao estava escrito que
> era um inteiro algebrico, mas apenas um numero
> algebrico. 
> Eu estou me confundindo porque eu acho que uma vez vi
> a seguinte afirmacao: "Com excecao de -1, 0 e 1, a
> parte real de uma raiz da unidade nao eh um inteiro
> algebrico" . Esta afirmacao eh falsa, certo?
> Artur
> 
Se for verdadeira, entao o problema do Marcio acabou.

Se arccos((raiz(5)-1)/2)/(2*Pi) = m/n, com m, n inteiros e n > 0, entao
(raiz(5)-1)/2 = cos(2*Pi*m/n) = parte real de uma raiz n-esima da unidade.

Mas (raiz(5)-1)/2 eh um inteiro algebrico (raiz de p(x) = x^2 + x - 1) e eh
claramente diferente de -1, 0 ou 1 ==>
(raiz(5)-1)/2 nao pode ser a parte real de uma raiz da unidade ==>
contradicao ==>
arccos((raiz(5)-1)/2)/(2*Pi) eh irracional

Assim, talvez seja mais interessante tentar provar (ou achar um
contra-exemplo) pra afirmacao acima.

****

De qualquer forma, acho que exemplo do Nicolau pode ser generalizado: o
dobro da parte real de uma raiz da unidade eh sempre um inteiro algebrico.


Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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