Re: [obm-l] Equacao polinomial

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Rafael:

Tudo o que voce escreveu na sua resposta original estah certo - a aplicacao
da regra dos sinais com os coeficientes das potencias pares de x sendo
positivos e das impares negativos - soh que nao justifica o fato de a
solucao da equacao ser x = 1 com multiplicidade 10. A principio poderia
haver alguma outra escolha para os coeficientes da equacao que fizesse com
que ela tivesse raizes reais positivas nem todas iguais a 1. Atraves do uso
da desigualdade MG <= MA, o Frederico mostrou que isso nao pode acontecer.

Um abraco,
Claudio.

 on 07.02.04 15:30, Rafael at cyberhelp@bol.com.br wrote:

> Cl�udio,
> 
> Embora voc� diga ser inv�lida a minha justificativa, n�o diz o porqu�.
> Suponho que voc� conhe�a a regra de sinais de Descartes. Conclui-se dela, a
> partir de "ra�zes reais e positivas", que os sinais dos coeficientes
> alternam-se. Ora, se eles se alternam, o primeiro � 1, o segundo � 10 e o
> �ltimo � 1, n�o � dif�cil concluir que as condi��es anteriormente expostas
> s�o satisfeitas por (x-1)^10. T�o somente depois disso p�de-se discutir a
> multiplicidade.
> A menos que algo *prove* que s� existe uma justificativa, n�o vejo por que
> mais de uma justificativa n�o possa estar correta.
> 
> Abra�os,
> 
> Rafael de A. Sampaio
> 
> 
> 
> ----- Original Message -----
> From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Saturday, February 07, 2004 10:54 AM
> Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial
> 
> 
>> Oi, Rafael:
>> 
>> A sua resposta estah correta mas a justificativa nao eh valida. E o mais
>> interessante nesse problema eh exatemente a justificativa...
>> 
>> Um abraco,
>> Claudio.
>> 
>> on 07.02.04 05:08, Rafael at cyberhelp@bol.com.br wrote:
> 
>>> Cl�udio,
>>> 
>>> A equa��o proposta por voc� � interessant�ssima.
>>> 
>>> Pela regra de sinais de Descartes e do enunciado, sabemos que, se h� dez
>>> ra�zes reais e positivas, todos os coeficientes de �ndice par s�o
> positivos
>>> e todos os de �ndice �mpar, negativos, admitindo-se que haja termos em x
>>> cujo exponte varia de 2 a 6. Assim:
>>> 
>>> a_10 = 1 > 0, a_8 > 0, a_6 > 0, a_4 > 0, a_2 > 0, a_0 = 1 > 0
>>> 
>>> a_9 = -10 < 0, a_7 < 0, a_5 < 0, a_3 < 0, a_1 < 0
>>> 
>>> Como nada se diz quanto a serem ra�zes distintas, temos que (x-1)^10 =
>>> x^10 - 10x^9 + 45x^8 - 120x^7 + 210x^6 - 252x^5 + 210x^4 - 120x^3 +
> 45x^2 -
>>> 10x + 1. Logo, x = 1 � solu��o �nica, cuja multiplicidade � 10.
>>> 
>>> Espero que esteja correto.
>>> 
>>> 
>>> Abra�os,
>>> 
>>> Rafael de A. Sampaio
> 
> 
> =========================================================================
> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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