Re: [obm-l] Equacao polinomial

["Frederico Reis Marques de Brito" <fredericor@xxxxxxxxxxx>]

Bom Rafael, embora a resposta que vc obteve esteja correta, seu argumento 
não me parece convincente. Afinal, você não teve subsídios para concluir que 
a raiz tinha multiplicidade 10...

Observe que, pelas relações entre coef. e raízes, a soma das raízes vale 10 
e o produto vale 1. Por hipótese e pelo Teor . Fund. da àlgebra, temos 10 
raízes reais e positivas. Decoorre que a média aritmética das raízes ( MA )  
é  1  e a média geométrica ( MG ) tb vale 1. Ora, como sabemos
MG <= MA e vale a igualdade se, e só se, todas as raízes são iguais.  
Portanto ~x=1 é uma raiz de multiplicidade 10.

Um abraço,
Frederico.


>From: "Rafael" <cyberhelp@bol.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial
>Date: Sat, 7 Feb 2004 05:08:22 -0200
>
>Cláudio,
>
>A equação proposta por você é interessantíssima.
>
>Pela regra de sinais de Descartes e do enunciado, sabemos que, se há dez
>raízes reais e positivas, todos os coeficientes de índice par são positivos
>e todos os de índice ímpar, negativos, admitindo-se que haja termos em x
>cujo exponte varia de 2 a 6. Assim:
>
>a_10 = 1 > 0, a_8 > 0, a_6 > 0, a_4 > 0, a_2 > 0, a_0 = 1 > 0
>
>a_9 = -10 < 0, a_7 < 0, a_5 < 0, a_3 < 0, a_1 < 0
>
>Como nada se diz quanto a serem raízes distintas, temos que (x-1)^10 =
>x^10 - 10x^9 + 45x^8 - 120x^7 + 210x^6 - 252x^5 + 210x^4 - 120x^3 + 45x^2 -
>10x + 1. Logo, x = 1 é solução única, cuja multiplicidade é 10.
>
>Espero que esteja correto.
>
>
>Abraços,
>
>Rafael de A. Sampaio
>
>
>
>----- Original Message -----
>From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
>To: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Saturday, February 07, 2004 1:43 AM
>Subject: [obm-l] Equacao polinomial
>
>
> > Jah que problemas envolvendo raizes de polinomios estao entre os mais
> > populares da lista, aqui vai um:
> >
> > Determine as raizes de:
> > x^10 - 10*x^9 + a_8*x^8 + a_7*x^7 + ... + a_1*x + 1 = 0, sabendo que 
>todas
> > elas sao reais e positivas.
> >
> > Um abraco,
> > Claudio.
>
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>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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