Re: [obm-l] Parece mas nao eh

[Salvador Addas Zanata <sazanata@xxxxxxxxxx>]

Oi Artur e demais amigos,

A minha ideia foi mais ou menos a de voces. 

Antes de mais nada, defina f:IN->IN como

f(a_0a_1...a_n)=a_0^2+...+a_n^2.


Primeiro note que se voce comecar com qualquer numero de no max. 3
algarismos, o proximo da seq. eh menor que 3X9^2=243. Assim, o conjunto 1
a 1000 eh invariante por f (a imagem dele eh o
conjunto 1 ate 243). Desta forma a "orbita" de todo
numero entre 1 e 1000 eh eventualmente periodica. Ai, num computador eu
chequei que as unicas periodicas sao as do 1 (fixa) e a do 4. 

Pra terminar, eh so notar que para numeros grandes, com mais de 3
algarismos, rapidamente a sequencia cai ate ficar com no maximo 3.

EX:


9999999999 ->810 

9999999........999999 -> n*81 .... -> o que eh facil ver, rapidinho fica
menor que mil.


Abraco,

Salvador


On Wed, 4 Feb 2004, Artur Steiner wrote:

> Oi salvador,
> Eu pensei um pouco sobre este problema, mas a unica
> conclusao a que eu ateh agora cheguei foi a mesma que
> o Claudio jah apresentou em uma outra mensagem. 
> Sabemos que, se comecarmos com um x(1) >100, para
> algum n acabaremos tendo necessariamente que x(n)
> <100. Logo, para analisarmos o comportamento final da
> sequencia basta considerar os casos em que 1 <= x(1)
> <= 99. Eu tentei provar que, se sairmos de 11 <= x(1)
> <= 99 acabaremos chegando a um x(n) <=9, mas nao
> fechei a prova. Podemos verificar que se x(n) tem 2
> algarismos entao -25 <= x(n+1) - x(n) <= 63, mas isto
> nao me levou aa conclusao desejada.
> Voce seguiu algum caminho semelhante?
> Artur  
> 
> 
> --- Salvador Addas Zanata <sazanata@ime.usp.br> wrote:
> > 
> > Oi gente,
> > 
> > Acabei de resolver um probleminha, que a primeira
> > vista me pareceu
> > impossivel, mas na verdade eh facil.
> > 
> > 
> > Dado um natural, digamos 13, o proximo eh 1²+3²=10,
> > depois vem 0²+1²=1 e
> > ficamos no 1,1,1,....
> > 
> > 
> > Se comecarmos com 4, vamos para 16, depois 37, 58,
> > 89, 145, 42, 20, 4, 16,
> > 37, 58, 89,.... , 20, 4, 16,.... e indefinidamente
> > nesta sequencia.
> > 
> > 
> > O problema eh: Prove que todo numero, ou termina no
> > 1, ou nessa seq.
> > 4,16,37,58,89,145,42,20,4,...
> > 
> > 
> > Disse que parecia impossivel, pois me lembrou na
> > hora o seguinte problema:
> > 
> > se n for par, divida por 2, se for impar,
> > multiplique por 3 e some 1.
> > 
> > 
> > Exemplo:
> > 
> > 
> >
> 7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,4,2,1,...
> > 
> > 
> > Prove que todo n converge para o loop
> > 4,2,1,4,2,1,...
> > 
> > 
> > Esse esta em aberto, e pelo que eu sei longe de ser
> > resolvido.
> > 
> > 
> > 
> > Abraco,
> > 
> > Salvador
> > 
> > 
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