[obm-l] Soma de 1/n

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Um dos fatos mais conhecidos da matematica e que Soma (1/n) -> inf. Hah
diversas provas. Mas eu cheguei a uma (que certamente jah apareceu em algum
lugar) que me parece uma das mais simples e elegantes. 
Seja S_n a sequencia das somas parciais, S_n = 1 + 1/2 ....+1/n. Para m>n,
temos que S_m - Sn = 1/(n+1).....+ 1/m. Com excecao da ultima, todas a m -n
parcelas desta soma sao maiores que 1/m. Logo, S_m - S_n > (m-n)/m. Se
fizermos m= 2n, obtemos S_2n - S_n > (2n-n)/(2n) = 1/2. Logo, S_n nao eh uma
sequencia de Cauchy e, desta forma, diverge. E como cada 1/n >0, segue-se
que Soma (1/n) -> inf. Acho que estah tudo certo.   
Mas eh verdade que esta prova, ao contrario de outras algebricamente mais
complicadas, nao dah uma visao completa do que acontece, visto, justamente,
se basear no criterio de Cauchy e nao diretamente no crescimento de S_n.
Artur

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