Re: [obm-l] equacao

[F�bio Dias Moreira <fabio.dias@xxxxxxxxxxxxxx>]

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[Sunday 01 February 2004 16:28: <obm-l@mat.puc-rio.br>]
> E ai pessoal da lista.Poxa fazia tempo q eu nao escrivia.
> Estive lendo o ultimo mathematical excalibur e achei uma quest�o q �
> interessante.no come�o achava q seria facil resolver mas so consigui achar
> duas solu��es e pelo q vi ela tem tres solu��es..A quest�o � a seguinte:
> Resolva a equa��o
> x^3 - 3x = sqrt(x+2)
> [...]

Seja y = x-2. Ent�o

(y-2)^3 - 3(y-2) = sqrt(y).

Tome t = sqrt(y), t >= 0. Ent�o t^2 = y e

(t^2-2)^3 - 3(t^2-2) = t <=>
t^6 - 6t^4 + 9t^2 - t - 2 = 0. Obviamente t = 2 � raiz. Logo
(t - 2)(t^5 + 2t^4 - 2t^3 - 4t^2 + t + 1) = 0. Como o polin�mio de quinto grau 
n�o tem ra�zes racionais, se ele for redut�vel, ele deve ser o produto de um 
polin�mio de terceiro grau por um de segundo grau. Logo queremos resolver a 
identidade

t^5 + 2t^4 - 2t^3 - 4t^2 + t + 1 = (t^2 + At + B)(t^3 + Ct^2 + Dt + E). 
Expandindo, uma das equa��es exige que BE = 1, logo, se B e E forem inteiros, 
ent�o B = E = 1 ou B = E = -1. O primeiro caso n�o tem solu��es inteiras, o 
segundo admite (a, c, d) = (1, 1, -2). Logo
(t - 2)(t^2 + t - 1)(t^3 + t^2 - 2t - 1) = 0.

� trivialmente f�cil achar as ra�zes positivas dos dois primeiros fatores 
(lembre que estamos sob a restri��o t >= 0). Se P(x) = t^3 + t^2 - 2t - 1, 
como P(-2) = -1, P(-1) = 1, P(0) = -1, P(1) = -1, P(2) = 7, P tem tr�s ra�zes 
reais a < b < c, com -2 < a < -1, -1 < b < 0 e 1 < c < 2. c � obviamente a 
�nica raiz positiva.

Ent�o as �nicas ra�zes positivas em t s�o 2, (sqrt(5)-1)/2 e c. Ent�o os 
poss�veis valores de y s�o 4, (3-sqrt(5))/2 e c^2.

Logo as solu��es da equa��o original s�o 2, -(1+sqrt(5))/2 e c^2-2, onde c � a 
raiz positiva de c^3 + c^2 - 2c - 1 = 0.

[]s,

- -- 
F�bio "ctg \pi" Dias Moreira
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