Re: [obm-l] equacao

[Fábio Dias Moreira <fabio.dias@xxxxxxxxxxxxxx>]

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[Sunday 01 February 2004 16:28: <obm-l@mat.puc-rio.br>]
> E ai pessoal da lista.Poxa fazia tempo q eu nao escrivia.
> Estive lendo o ultimo mathematical excalibur e achei uma questão q é
> interessante.no começo achava q seria facil resolver mas so consigui achar
> duas soluções e pelo q vi ela tem tres soluções..A questão é a seguinte:
> Resolva a equação
> x^3 - 3x = sqrt(x+2)
> [...]

Seja y = x-2. Então

(y-2)^3 - 3(y-2) = sqrt(y).

Tome t = sqrt(y), t >= 0. Então t^2 = y e

(t^2-2)^3 - 3(t^2-2) = t <=>
t^6 - 6t^4 + 9t^2 - t - 2 = 0. Obviamente t = 2 é raiz. Logo
(t - 2)(t^5 + 2t^4 - 2t^3 - 4t^2 + t + 1) = 0. Como o polinômio de quinto grau 
não tem raízes racionais, se ele for redutível, ele deve ser o produto de um 
polinômio de terceiro grau por um de segundo grau. Logo queremos resolver a 
identidade

t^5 + 2t^4 - 2t^3 - 4t^2 + t + 1 = (t^2 + At + B)(t^3 + Ct^2 + Dt + E). 
Expandindo, uma das equações exige que BE = 1, logo, se B e E forem inteiros, 
então B = E = 1 ou B = E = -1. O primeiro caso não tem soluções inteiras, o 
segundo admite (a, c, d) = (1, 1, -2). Logo
(t - 2)(t^2 + t - 1)(t^3 + t^2 - 2t - 1) = 0.

É trivialmente fácil achar as raízes positivas dos dois primeiros fatores 
(lembre que estamos sob a restrição t >= 0). Se P(x) = t^3 + t^2 - 2t - 1, 
como P(-2) = -1, P(-1) = 1, P(0) = -1, P(1) = -1, P(2) = 7, P tem três raízes 
reais a < b < c, com -2 < a < -1, -1 < b < 0 e 1 < c < 2. c é obviamente a 
única raiz positiva.

Então as únicas raízes positivas em t são 2, (sqrt(5)-1)/2 e c. Então os 
possíveis valores de y são 4, (3-sqrt(5))/2 e c^2.

Logo as soluções da equação original são 2, -(1+sqrt(5))/2 e c^2-2, onde c é a 
raiz positiva de c^3 + c^2 - 2c - 1 = 0.

[]s,

- -- 
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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