[obm-l] Phi de Euler

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Platao e Duda:

Dentro do espirito de se buscar sempre a solucao mais bonita pra cada
problema, aqui vai a minha candidata pra este ai:
Se mdc(n,k) = 1 entao mdc(n,n-k) = 1. Logo, se n > 2, podemos arranjar os
inteiros positivos menores que n e primos com n em pares disjuntos da forma
{k,n-k}. Isso quer dizer que Phi(n) eh par para n > 2.

Eh claro que se k = n - k entao n = 2k e mdc(n,k) = k > 1 (a menos que k = 1
==> n = 2, mas esse caso jah foi descartado).

****

E se mudarmos a pergunta original para: A imagem da funcao Phi contem todos
os inteiros positivos pares? (por exemplo, 14?)

Um abraco,
Claudio.

on 30.01.04 01:04, Eduardo Casagrande Stabel at dudastabel@terra.com.br
wrote:

> Oi Platão e demais.
> 
> Não querendo corrigir, mas já enriquecendo a mensagem do Platão. Se n é
> primo (com exceção a n=2) então Phi(n) = n-1 é par. Se n é potência de primo
> n = p^i (com i>=2) então Phi(n) = p^i - p^(i-1) também é par. Já que a
> função Phi é multiplicatica, isto é, se mdc(m,n)=1 então Phi(mn) = Phi(m)
> Phi(n), então segue a conclusão de que, a menos para n = 2, Phi(n) é um
> número par.
> 
> Para quem não conhece (a maioria), o Platão é amigo meu, de Novo Hamburgo, e
> portanto também gaúcho. Saudações ao mais novo membro da lista, todos
> esperamos boas contribuições como essa! Seja bem-vindo!
> 
> Abração,
> Duda.
> 
> 
> From: "Platão Gonçalves Terra Neto" <plataoterra@ig.com.br>
>> Basta ver que se p é primo, ímpar, então phi(p)=p-1, par.
>> Para n=b^c, b primo, phi(b^c)=b^c-b^(c-1), que é par, ou seja,  se
>> n=a1^p2*a2^p2*...an^pn, sendo ai, todos primos , distintos , n>2 e pi
>> expoentes, então phi(n) é par.
>> Se n=2^k, phi(n)=2^k-2^(k-1), que é par, exceção, para phi(2)=1.
>> phi(1)=1.
>> Logo, phi(n) é par , para todo n>2, donde ,N* não é imagem de phi(n)
>> ----- Original Message -----
>> From: "André Martin Timpanaro" <andre_math@hotmail.com>
>> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> Sent: Thursday, January 29, 2004 8:38 PM
>> Subject: [obm-l] Dúvida
>> 
>> 
>>> A afirmação abaixo é verdadeira?
>>> 
>>> Dado um número natural n não nulo existe algum natural m tal que
> phi(m)=n.
>>> Onde phi(x) é a função phi de Euler.
>>> Em outras palavras, a imagem de phi(x) é N* ?
>>> 
>>> André T.
>>> 
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>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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