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Recentemente eu estava
folheando a revista Eureka! nº 14 quando encontrei, na página 58, uma
curiosidade que
transcrevo logo abaixo: "Considere um bilhão de
números distintos escritos cada um em um de um bilhão de papeizinhos (haja
papel!) em um
chapéu. Você deve retirar um papel de cada vez. Você deve dizer que você encontrou o maior de todos os números, logo após retirá-lo. Não vale dizer que um outro número que você já tinha retirado antes é o maior! A probabilidade de você acertar sua afirmativa parece muito pequena, não? Você sabia que você pode adotar uma estratégia de modo que a probabilidade de acertar seja maior que 1/3? Você deve descartar os primeiros s números, onde s é aproximadamente n/e (e= 2,71828... é a constante de Euler), e em seguida, escolher o próximo número que for maior que todos os anteriores. Você tem probabilidade muito próxima de 1/e de acertar!" Devo confessar que sinto
uma grande dificuldade em resolver problemas de probabilidade mas fiquei tentado
a dar uma
resposta para este problema. Peço desculpas se minha solução estiver incorreta ou se este problema já foi discutido nesta lista. A solução é para um caso particular. SOLUÇÃO: Sejam n= 1000000000, s= maior inteiro
menor ou igual a n/e, I_{n}= {1, 2,..., n}, binomial(p, q)= p!/(q!*(p- q)!).
Em primeiro lugar, se entendi
corretamente o enunciado, estamos supondo que dentre os s (aproximadamente n/e)
elementos
descartados não se encontra o número n pois pelo problema devemos "escolher o próximo número que for maior que todos os anteriores." Considere os eventos A:= subconjuntos de I_{n} com s elementos que não contêm n; B:= subconjuntos de I_{n} com s elementos que contêm n-1. Para que a estratégia acima de um resultado positivo é necessário que entre os s elementos descartados esteja o elemento n-1. A probabilidade de obtermos o número n é então dada por P(B/A)= binomial(n- 2, s- 1)/binomial(n- 1, s)= s/(n- 1). Note que s= 367879441 e assim s/(n- 1) é aproximadamente igual a 0.367879441 que por sua vez é aproximadamente igual a 1/e. O que não entendi é o porque da
escolha do número e. Parece que ele foi escolhido arbitrariamente. Podem me
dizer se a
solução é correta. Agradeço antecipadamente qualquer ajuda. Wellington
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