Re: [obm-l] Um problema de probabilidade

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Jan 29, 2004 at 07:11:45PM -0200, Ogama wrote:
> "Considere um bilhão de números distintos escritos cada um em um de um
> bilhão de papeizinhos (haja papel!) em um chapéu. Você deve retirar um
> papel de cada vez. Você deve dizer que você encontrou o maior de todos
> os números, logo após retirá-lo. Não vale dizer que um outro número que você
> já tinha retirado antes é o maior!  A probabilidade de você acertar sua
> afirmativa parece muito pequena, não? Você sabia que você pode adotar uma
> estratégia de modo que a probabilidade de acertar seja maior que 1/3? Você
> deve descartar os primeiros s números, onde s é aproximadamente n/e (e=
> 2,71828... é a constante de Euler), e em seguida, escolher o próximo número
> que for maior que todos os anteriores. Você tem probabilidade muito próxima
> de 1/e de acertar!"  
...
> SOLUÇÃO: Sejam n= 1000000000, s= maior inteiro menor ou igual a n/e, I_{n}=
> {1, 2,..., n}, binomial(p, q)= p!/(q!*(p- q)!). 
> 
> Em primeiro lugar, se entendi corretamente o enunciado, estamos supondo
> que dentre os s (aproximadamente n/e) elementos descartados não se
> encontra o número n pois pelo problema devemos "escolher o próximo número
> que for maior que todos os anteriores." 

Isto não é bem assim. Se entre os s primeiros papéis aparecer o número n
então com esta estratégia você perde. Você tem 1/e de probabilidade de
perder por este motivo.

> Considere os eventos
>  A:= subconjuntos de I_{n} com s elementos que não contêm n; B:= subconjuntos
>  de I_{n} com s elementos que contêm n-1.  Para que a estratégia acima de um
>  resultado positivo é necessário que entre os s elementos descartados esteja
>  o elemento n-1.

Também não é bem assim. Se você tirar o n-1 entre os s primeiros e não tirar
o n, isto garante que você ganha. Mas mesmo sem tirar o n-1 entre os s
primeiros ainda é possível ganhar. Suponha que o maior número que você
tirou entre os s primeiros foi o n-3: você vai anunciar como "o maior"
o primeiro que aparecer dentre n-2, n-1 e n, ou seja, você ainda tem 1/3
de probabilidade de ganhar.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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