RE: [obm-l] Teorema das raizes racionais.

[Carlos Maçaranduba <soh_lamento@xxxxxxxxxxxx>]

A reciproca neste caso,nao é verdadeira, mas o que se
faz é pegar o p e q devidos e testar se é raiz.Mas vc
sabe a probabilidade de ser raiz???Aproveitando, como
é que é aquela historia da probabilidade da reciproca
do pequeno teorema de Fermat??
Melhor ainda ,alguem tem alguma referencia(de
preferencia na internet) sobre probabilidades e Teoria
dos Numeros???Ou referencias da probabilidade de
caminhadas em grafos???



 --- Artur Costa Steiner <artur@opendf.com.br>
escreveu: > Naum sei se este eh o teorema ao qual vc
se refere,
> mas o que eu conheco por
> este nome diz o seguinte: Seja P um polinomio de
> coeficientes inteiros dado
> por P(x) = a_0 + a_1x.....+a_n x^n (a_n<>0). Se a
> fracao irredutivel p/q, p
> e q inteiros, q<>0, for raiz de P, entao p divide
> a_0 e q divide a_n.
> Uma forma de vermos isto comeca observando o fato de
> que, se r eh raiz de P,
> entao, para todo real x, P(x) = (x-r)* Q(x), onde Q
> eh um polinomio de grau
> n-1. Para facilitar, consideremos inicialmente o
> caso particular em que q=1
> e p, consequentemente, eh raiz de P. Como os
> coeficientes de P sao inteiros
> e os do binomio x-p sao 1 e -1, o algoritmo da
> divisao de polinomios
> acarreta que os coeficientes de Q sejam inteiros.
> Temos entao que P(x) =
> (x-p)* Q(x) e, portanto, P(0) = a_0 = -p * Q(0).
> Como Q(0), o termo
> independente de Q, eh inteiro, segue-se que p divide
> a_0. E como q=1 eh
> divisor de a_n, concluimos que o teorema vale neste
> caso particular.
> 
> No caso geral, observamos que, se p/q eh raiz de P,
> entao a_0 + a_1
> *(p/q)...+ a_n*(p/q)^n = 0. Logo, a_0*q^n +
> a_1*p*q^(n-1)  + ....a_n*p^n =0.
> Temos portanto que p eh raiz do polinomio P1 de
> coeficientes (do termo
> independente para o do termo de grau n) a_0*q^n,
> a_1*q^(n-1),...a_n e q eh
> raiz do polinomio P2 de coeficientes (mesma
> convencao) a_n*p^n,
> a_(n-1)*p^(n-1),...a_0. Eh imediato que os
> coeficientes de P1 e de P2 sao
> inteiros. Aplicando-se o caso particular do teorema,
> jah demonstrado, a P1,
> concluimos que p divide a_0*q^n. Mas como p/q eh uma
> fracao irredutivel,
> segue-se necessariamente que p divide a_0. De modo
> similar,  aplicando-se o
> caso particular do teorema a P2 concluimos que q
> divide a_n*p^n e que,
> portanto, q divide a_n. Isto completa a demonstracao
> do teorema.  
> 
> Exemplo simples: os racionais 3/2 e 1/2 sao raizes 
> do polinomio do 2o grau,
> de coeficientes inteiros, P(x) = 4x^2 - 8x + 3.
> Verificamos facilmente que
> as condicoes especificadas no teorema sao validas.
> Outra aplicacao: podemos
> afirmar que P(x) = x^579 - 785*x^273 + 4297*x^198 +
> 1 nao admite raizes
> racionais. Segundo o teorema, se a fracao
> irredutivel p/q for raiz de P,
> entao p divide 1 e q divide 1. Para que isto seja
> possivel, temos que p=q =1
> e p/q =1, o que faz de 1 o unico racional candidato
> a raiz de P. Mas 1,
> decididamente, naum eh raiz de P.
> 
> Finalmente, eh interessante observar que a reciproca
> do teorema nao eh
> verdadeira.  
> Abracos
> Artur   
>  
> 
> >-----Original Message-----
> >From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
> >Behalf Of Victor Machado
> >Sent: Tuesday, January 27, 2004 7:15 PM
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: [obm-l] Teorema das raizes racionais.
> >
> >Olá pessoal.
> >Gostaria de saber como é o Teorema das Raízes
> Racionais, como prová-la e um
> >exemplo de aplicação.
> >Muita coisa ? :)
> >Obrigado.
> >Víctor.
> >
>
>_____________________________________________________________
> >--->Get your free email @godisdead.com
> >Made possible by Fade to Black Comedy Magazine
> >
>
>=========================================================================
> >Instru es para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
>=========================================================================
> 
> 
>
=========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
========================================================================= 

______________________________________________________________________

Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis!
http://br.geocities.yahoo.com/
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================