Pessoal da lista , eu estou enviando para de vocês quatro proposições minhas que eu mesmo demonstrei e no entanto eu não sei se constam dentro da Teoria dos Números. Gostaria da ajuda de vocês.
Proposição 1: Se p >3 e p+2 são primos gêmeos então p +1 = 6k, para algum k inteiro
Como p é primo ímpar então p+1 é par, daí 2 divide p+1. Basta provar que 3 divide p+1.
vamos supor que 3 não divide p+1, daí temos duas situações possíveis:
p+1 = 3.k +2, para algum k inteiro, então p + 1 + 1 = 3.k + 2 +1 , então p+2 = 3.k +3 = 3( k+1) = 3.m, absurdo pois p+2 é primo.
logo por (a) e (b) temos que 3 divide p+1. Como 2 divide p+1 e 3 divide p+1, então 6 divide p+1, daí p+1= 6.k. Como queríamos demonstrar!
Proposição 2: Se p>3 e p+2 são primos gêmeos então p= 6.k +5, para algum k inteiro
De fato,
pela proposição 1 temos que : p+1 = 6.m, para algum m inteiro p = 6.m - 1= 6.m + 5 - 6 = 6.( m-1) + 5 = 6.k +5 .
Proposição 3: Se p>3 e 2.p +1 são primos então p+1=6.n , para algum n inteiro.
Como p é primo ímpar então p+1 é par, daí 2 divide p+1. Basta provar que 3 divide p+1.
vamos supor que 3 não divide p+1, daí temos duas situações possíveis:
a)
p+1= 3.k +1, para algum k inteiro , então p = 3.k absurdo pois p é primo, ou
então por (a) e (b) temos que 3 divide p+1. Como 2 divide p+1, então 6 divide p+1. Daí , p+1 = 6.n, para algum n inteiro.
Proposição 4 : Se p>3 e 2p +1 são primos então p= 6.k +5, para algum k inteiro.
Pela proposição 3 temos que : p+1 = 6.m, para algum m inteiro , então p = 6.m - 1= 6.m + 5 - 6 = 6.( m-1) + 5 = 6.k +5 , como queríamos demonstrar .
Atenciosamente ,
Levi