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[obm-l] Apresentação & Conjectura sobre DNA
Olá Pessoal.
Primeiramente deixe-me apresentar.
Meu nome é Ronaldo L. Alonso e sou aluno de doutorado do ICMC-USP São
Carlos. Participei de algumas olimpíadas de matemática quando era
adolescente, mas
hoje me dedido à pesquisa matemática/computacional e dou aulas. O fato
é que nunca
obtive resultados significativos, apenas um terceiro lugar em 1992 na
olimpíada paulista de
escolas estaduais.
Atualmente pesquiso o problema do novelamento protéico
usando técnicas matemáticas (para quem não sabe o que é o problema, pode
acessar
meu site e dar uma olhada nas animações em flash:
www.ronaldoalonso.hpg.com.br ).
Basicamente consiste em descobrir como a sequência de aminoácidos
determina a forma
geométrica da proteína. Eu *realmente* acredito que este problema pode
ser resolvido
com dinâmica simbólica. Talvez o Nicolau deva se interessar pelo
problema.
A idéia da dinâmica simbólica é produzir um espaço topológico
de símbolos e trabalhar com
os símbolos desse espaço para deduzir propriedades de sistemas dinâmicos
como
órbitas periódicas, bifurcações etc. Como o DNA é um computador
químico, mas não sabemos as regras que ele usa para codificar proteínas eu
acredito muito que
a dinâmica simbólica poderia ajudar a esclarecer isso (e trazer o Nobel a
quem resolver o problema).
Quem já conhece dinâmica simbólica pode pular essa pequena introdução:
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Sistemas dinâmicos como o mapa logístico (Devaney -- Introdução
aos Sistemas Dinâmicos) são discretizados no tempo e o
comportamento do
sistema é estudado apenas em "ticks" do relógio.
A idéia da dinâmica simbólica é discretizar o espaço também. Um
exemplo simples:
Seja T = [0,1) (Notar que este intervalo é chamado de T, pois T^2 é o
toro bidimensional = T x T). Consideramos então a partição topológica de
T em
abertos : P = {(0,1/10) ,(1/10,2/10) ,(2/10,3/10) ,..., (9/10,1)} (T foi
dividido
em 10 subintervalos).
Essa partição topológica não é uma partição no sentido comum, pois a
união dos subintervalos não cobre T.
Considere a parte inteira multiplicação de um número entre T = [0,1)
por 10 módulo 1.
Isto é x(n+1) = (x(n)*10) mod 1. Cada vez que multiplicamos x por 10
e tiramos módulo 1,
o resultado cai em um dos subintervalos acima da partição P. Se cair
no primeiro, associamos
o símbolo 1, no segundo, o símbolo 2 e assim por diante.
x(1)= x(0)*10 mod 1 == 0.32632632... ==> Símbolo 3 (está na
terceira partição)
x(2) = x(1)*10 mod 1 == 0.2632632... ==> Símbolo 2 (está na
segunda partição)
x(3) = x(2)*10 mod 1 == 0.632632... ==> Símbolo 6 (está na sexta
partição)
x(4) = x(3)*10 mod 1 == 0.32632... ==> Símbolo 3 (está na terceira
partição)
.....
Neste caso, se x for um número
racional a sequência
de símbolos obtidos corresponde à expansão decimal de x. Exemplo: x =
0.632632632...
Notar, neste caso, que o alfabeto é S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. E a
sequência de símbolos
obtida no exemplo acima descreve uma órbita periódica do sistema
dinâmico dado pela equação
x(n+1) = (x(n)*10) mod 1.
É claro que nem todas as partições topológicas dão informações
qualitativas sobre as propriedades
do sistema dinâmico. Para obter informações relevantes, é necessário
produzir partições topológicas
com propriedades "mágicas". As partições mais interessantes são as
partições de Markov. Roy Adler
provou que sempre quando um sistema dinâmico é expansível em uma direção e
contratível em outra,
ele admite uma partição de Markov.
Por que é interessante ter uma partição de Markov no espaço de um
sistema dinâmico?
Bem, basicamente porque neste caso, podemos produzir um novo espaço
topológico (desta vez discreto)
conjugado ao espaço original do sistema dinâmico que estamos
estudando e as sequências neste novo
espaço que não são admitidas, podem ser descritas por grafos!! Além
disso, a partir da matriz de
adjacência do grafo, podemos usar todas as ferramentas da álgebra
linear para deduzir propriedades
do sistema .
Este novo espaço, é chamado espaço de shift (shift space). E
os pontos neste espaço são sequências
bi-infinitas de símbolos. Este espaço é também um espaço métrico
(possui uma métrica), o que o torna
bastante interessante para estudo.
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Alonso's Cojecture :)
Uma das conjecturas que tive a uns anos atrás era que a sequência
de símbolos (aminoácidos)
de uma proteína determinava a posição destes símbolos (aminoácidos) na
partição do espaço tridimensional determinada
pelo sistema dinâmico gerado por esta sequência, isto é, a proteína é
um sistema dinâmico cujo comportamento
depende dos símbolos nele (aminoácidos). Ao ser discretizado, este
sistema gera uma partição topológica.
A posição de cada símbolo (aminoácido) ocupada nesta partição
topológica é determinada por ele mesmo.
Em outras palavras, quando existe um ponto fixo atrator na dinâmica
do
sistema, existe também um automorfismo
no espaço de shift correspondente que fixa este ponto no espaço de
shift.
Ao discutir essa possibilidade com Carlos Gutierrez (professor da
Matemática) ele me disse que era coerente,
pois no DNA existem apenas 4 bases que não passam de símbolos, é claro.
Anfisen (Nobel de química) , já havia verificado que o estado nativo da
proteína era um
atrator e de fato experiências modernas mostraram
isso. Mas Carlos me disse que não podemos conjectuar antes de ter uma
base matemática sólida e citou a
frase de Poincaré: Um amontoado de tijolos não é uma casa e um amontoado
de fatos não é ciência.
O fato é que em um doutorado não há tempo suficiente para explorar
esta questão. Preciso de experiência, por isso planejo agora algo
mais
relístico que é usar dinâmica simbólica para estudar
sistemas mais simples.
Esse tema une as duas áreas: A teoria da computação e a dinâmica
caótica. Logo ela é bastante interessante
para realizar seminários. Se houver alguém de São Carlos
interessado
em participar dos seminários será bem-vindo.
Nãodá para explicar tudo em e-mail "curto", mas a dinâmica simbólica
certamente é uma
ferramenta poderosa para
estudo de propriedades de sistemas dinâmicos, como mínimos locais,
pontos fixos, bifurações, etc...
Creio que o desenvolvimento desta teoria seja de suma importância
para toda pesquisa física-matemática.
Quero dedicar alguns de meus anos à ela.
Abraços
Ronaldo L. Alonso.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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