[obm-l] Re: [obm-l] PARADOXO DE SÃO PETERSBURGO

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Jan 16, 2004 at 08:13:41PM -0300, jorgeluis@edu.unifor.br wrote:
> Turma! a título de curiosidade, vale salientar que no século XVIII, os mais
> eminentes probabilistas franceses, numa correspondência trocada entre S.
> Petersburgo e Paris, enunciaram e estudaram de forma aprofundada o problema:
> 
> Pedro e Paulo combinam disputar, com as convenções abaixo, uma série de
> partidas de cara ou coroa ou de um jogo análogo em que ambos os parceiros
> possuem iguais possibilidades. Se Pedro ganhar a primeira partida, Paulo lhe
> pagará 2 francos e o jogo acabará. Se Pedro perder a primeira e vencer a
> segunda, Paulo lhe pagará 4 francos e o jogo terminará...; se Pedro perder as
> n-1 primeiras partidas e ganhar a n-ésima, Paulo lhe dará em francos 2
> elevado a n-ésima potência e o jogo acabará. O problema consiste em
> determinar qual deve ser a parada de Pedro, isto é, a soma que ele terá de
> pagar a Paulo, antes de começar o jogo,em troca das promessas que lhe são
> feitas.
> 
> NOTA: O resultado paradoxal é que esta parada deverá ser infinita; em outros
> termos, qualquer que seja a parada fixa que lhe fôr exigida, o partido de
> Pedro é vantajoso, isto é, Pedro poderá revender mais caro, antes de iniciar
> o jogo, as promessas que recebeu.

Eu pelo menos não acho isso tão paradoxal assim. Pedro estaria sendo ingênuo
se ele acreditasse que uma promessa destas iria ser honrada. Será que ele acha
mesmo que se ele perder 50 partidas e ganhar a de número 51 ele algum dia
vai ver a cor dos 2^51 francos que Paulo deveria pagar?!

Se você colocar um prêmio máximo que o Paulo *vai* pagar (ou seja, que ele
tem como pagar) e reconhecer que acima disso melou tudo, o Paulo paga apenas
o valor máximo mesmo, o valor fica sendo finito e o paradoxo desaparece.

Por exemplo, se Paulo pagar no máximo 2^20 francos o valor esperado do
pagamento de Paulo será 2/2 + 4/4 + ... + 2^20/2^20 + 2^20/2^20 = 21 francos.
Note que 2^20 é aproximadamente um milhão. Se Paulo puder pagar até 2^30
francos (pouco mais de um bilhão), o valor esperado fica sendo 31 francos.
Acima disso fica muito irreal (e note que o valor esperado sobe como o log
do valor máximo que Paulo paga, ou seja, muito devagar).

Ou seja, eu não recomendaria que Pedro pagasse mais do que 20 ou estourando
30 francos por esta aposta. Provavelmente até 20 é acreditar demais na palavra
do Paulo.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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