Re: [obm-l] Credo!!!

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Oi, amigos da lista.

Dado x real não nulo, e a_1,a_2,...,a_n reais
positivos, o valor
   M(x) = ((a_1^x + a_2^x + ... + a_n^x)/n)^(1/x)
é chamado média potencial de ordem x de a_1, a_2, ...,
a_n. Para x=0, definimos M(0) como a média geométrica
de a_1,a_2,...,a_n, ou seja,
   M(0) = (a_1a_2...a_n)^(1/n)

O que foi pedido é o limite de M(x) quando x tende a
zero e a_i = i. Considerando a definição de M(0), é
conveniente que o resultado dê (n!)^(1/n).

Vamos provar que a definição de M(0) é consistente com
o limite de M(x) para x indo a zero.

De fato, tirando log (na base e) de M(x),
  log(M(x)) = log((a_1^x + a_2^x + ... + a_n^x)/n)/x

Observe que quando x tende a zero, o numerador da
última expressão, que é log((a_1^x + a_2^x + ... +
a_n^x)/n), tende a 0 (cada a_i^x tende a 1; somamos n
números próximos de 1 e obtemos um número próximo de
n; um número próximo de n dividido por n é próximo de
1 e log de um número próximo de 1 é próximo de 0). O
denominador, que é x, também. Podemos, então aplicar a
regra de L'Hospital para obter

lim(log(M(x)), x->0 =
  ([log(a_1)*a_1^x + ... + log(a_n)*a_n^x]/n):
  [(a_1^x + a_2^x + ... + a_n^x)/n]
= [log(a_1) + ... + log(a_n)]/n
= log(a_1a_2...a_n)^(1/n)

Logo lim(M(x)), x->0 = (a_1a_2...a_n)^(1/n).

[]'s
Shine

--- Ricardo Bittencourt <ricbit@700km.com.br> wrote:
> Eduardo Henrique Leitner wrote:
> > limite, pra x tendendo a zero dessa expressão:
> >    {[(1^x) + (2^x) + (3^x) + ... +
> (n^x)]/(n)}^(1/x)
> > adoraria que alguém me ajudasse... a resposta é 
> >  (n!)^(1/n)
> 
> 	Eu acho que consegui:
> 
> 	Seja a(i)=i^x. A média aritmética de todos os a(i)
> é aquilo que está dentro das chaves. Mas sabemos que
> AM>=GM,
> com igualdade apenas quando todos os termos são
> iguais.
> 
> 	Mas, no limite pra x tendendo a zero, todos os a(i)
> tendem a 1 e portanto todos tendem a ficar iguais.
> Por isso,
> AM=GM no limite para x indo a 0. Daí tiramos que:
> 
> 	AM^(1/x)=GM^(1/x)
> 
> 	GM= { produtorio de a(i) } ^(1/n)
>   	  = {1^x . 2^x . ... n^x} ^(1/n)
> 	  = {(n!)^x}^(1/n)= {(n!)^(1/n)}^x
> 
> 	Logo
> AM^(1/x)=GM^(1/x)={(n!)^(1/n)}^x^(1/x)=(n!)^(1/n)
> e o limite pra x indo a zero é (n!)^(1/n).
> 
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