RE: [obm-l] Credo!!!

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi,
Seja A a expresao dada. Entao, Ln(A) = (1/x)* Ln{[(1^x) + (2^x) + (3^x) +
... + (n^x)]/n} = Ln(B)/x, sendo B =[(1^x) + (2^x) + (3^x) + ... + (n^x)]/n
. Vemos que B-> 1 quando x-> 0, logo Ln(B) -> 0 quando x->0. Podemos usar a
equivalencia, quando B->1, Ln(B) ~ B -1, a qual decorre do desenvolvimento
do log. Neperiano em serie de Taylor. Logo, quando x->0, Ln(B)/x ~ (B-1)/x.
Com um pouco de Algebra, temos que (B-1)/x = [(1^x-1)/x + (2^x-1)/x ....+
(n^x-1)/x]/(n*). Observamos que, quando x->0, cada uma das n parcela que
compoe o numerador tende aa derivada em x=0 de k^x, k=1,2...n.  cada uma
destas derivadas eh k^x * Ln(k) em x=0, ou seja, Ln(k). Logo, Ln(A) =
Ln(B)/x -> (B-1)/x -> [Ln(1) +....Ln(n)]/n = Ln(n!)/n . Finalmente,
concluimos que, qundo x->0, A -> e^[Ln(n!)/n] = [e^[Ln(n!)]^(1/n) =
(n!)^(1/n). Nos poderiamos chegar mais rapidamente a este resultado
empregando a Regra de L'Hopital. Mas eu preferi uma solucao que, a meu ver,
mostra melhor o que estah acontecendo.
Um abraco.
Artur

>5 horas pensando e nada...:
>
>limite, pra x tendendo a zero dessa expressão:
>
>   {[(1^x) + (2^x) + (3^x) + ... + (n^x)]/(n)}^(1/x)
>
>adoraria que alguém me ajudasse... a resposta é
>
> (n!)^(1/n)
>
>muito obrigado
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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