Re: [obm-l] Enrolado com cardinalidades

["Will" <will@xxxxxxxxxx>]

lembre que os naturais estão contidos nos inteiros e nem por isso eles tem
cardinalidades diferentes :-)

Will
----- Original Message -----
From: "André Martin Timpanaro" <andre_math@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, January 10, 2004 11:51 AM
Subject: [obm-l] Enrolado com cardinalidades


Estou com uma dúvida quanto a prova da afirmação abaixo:

-Dado um conjunto C, a cardinalidade do conjunto P de todos os subconjuntos
de C é sempre maior que a cardinalidade de C.

PROVA: Se C é um conjunto finito de cardinalidade n, então P tem
cardinalidade 2^n. E 2^n>n para todo n>=0.

Suponha agora que C seja infinito, C tem a mesma cardinalidade que o
subconjunto de P que contém todos os subconjuntos unitários de C e portanto
a cardinalidade de C é menor ou igual a cardinalidade de P.

Suponha por absurdo que exista uma bijeção entre C e P. Seja M um conjunto
com a seguinte propriedade, se x é um elemento de C e a bijeção associa a x
um conjunto ao qual x não pertence, então x pertence a M, do contrário, x
não pertence a M. Então por essa definição, M é subconjunto de C e essa
bijeção deve associar um elemento y de C ao conjunto M.
Mas suponha que y pertence a M. Então, por definição, y não pertence a M
pois senão y estaria associado a um conjunto ao qual ele pertence e
pertenceria a M ao mesmo tempo. Mas se y não pertence a M, ele está
associado com um conjunto ao qual ele não pertence e ao mesmo pertence a C,
logo por definição deve pertencer a M. Então o fato de M ter algum elemento
associado a ele (qualquer elemento) é contraditório e logo M não está
associado a nenhum elemento de C. Absurdo!

Logo as cardinalidades de C e P são diferentes e portanto a cardinalidade de
P é maior que a de C.
CQD.

-A minha dúvida é a seguinte: Ele não deveria considerar a possibilidade de
que M pertencesse a P antes de começar a construir M?

Encontrei a prova no livro abaixo e ela era atribuida a Georg Cantor:
"The Art of Infinity"


André T.

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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