[obm-l] Enrolado com cardinalidades

[André Martin Timpanaro <andre_math@xxxxxxxxxxx>]

Estou com uma dúvida quanto a prova da afirmação abaixo:

-Dado um conjunto C, a cardinalidade do conjunto P de todos os subconjuntos 
de C é sempre maior que a cardinalidade de C.

PROVA: Se C é um conjunto finito de cardinalidade n, então P tem 
cardinalidade 2^n. E 2^n>n para todo n>=0.

Suponha agora que C seja infinito, C tem a mesma cardinalidade que o 
subconjunto de P que contém todos os subconjuntos unitários de C e portanto 
a cardinalidade de C é menor ou igual a cardinalidade de P.

Suponha por absurdo que exista uma bijeção entre C e P. Seja M um conjunto 
com a seguinte propriedade, se x é um elemento de C e a bijeção associa a x 
um conjunto ao qual x não pertence, então x pertence a M, do contrário, x 
não pertence a M. Então por essa definição, M é subconjunto de C e essa 
bijeção deve associar um elemento y de C ao conjunto M.
Mas suponha que y pertence a M. Então, por definição, y não pertence a M 
pois senão y estaria associado a um conjunto ao qual ele pertence e 
pertenceria a M ao mesmo tempo. Mas se y não pertence a M, ele está 
associado com um conjunto ao qual ele não pertence e ao mesmo pertence a C, 
logo por definição deve pertencer a M. Então o fato de M ter algum elemento 
associado a ele (qualquer elemento) é contraditório e logo M não está 
associado a nenhum elemento de C. Absurdo!

Logo as cardinalidades de C e P são diferentes e portanto a cardinalidade de 
P é maior que a de C.
CQD.

-A minha dúvida é a seguinte: Ele não deveria considerar a possibilidade de 
que M pertencesse a P antes de começar a construir M?

Encontrei a prova no livro abaixo e ela era atribuida a Georg Cantor:
"The Art of Infinity"


André T.

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