Re: [obm-l] Enrolado com cardinalidades

[Felipe Pina <pinaf@xxxxxxxxxxxx>]

At 12:51 PM 1/10/2004, you wrote:
>Estou com uma dúvida quanto a prova da afirmação abaixo:
>
>-Dado um conjunto C, a cardinalidade do conjunto P de todos os 
>subconjuntos de C é sempre maior que a cardinalidade de C.
>
>PROVA: Se C é um conjunto finito de cardinalidade n, então P tem 
>cardinalidade 2^n. E 2^n>n para todo n>=0.
>
>Suponha agora que C seja infinito, C tem a mesma cardinalidade que o 
>subconjunto de P que contém todos os subconjuntos unitários de C e 
>portanto a cardinalidade de C é menor ou igual a cardinalidade de P.
>
>Suponha por absurdo que exista uma bijeção entre C e P. Seja M um conjunto 
>com a seguinte propriedade, se x é um elemento de C e a bijeção associa a 
>x um conjunto ao qual x não pertence, então x pertence a M, do contrário, 
>x não pertence a M. Então por essa definição, M é subconjunto de C e essa 
>bijeção deve associar um elemento y de C ao conjunto M.
>Mas suponha que y pertence a M. Então, por definição, y não pertence a M 
>pois senão y estaria associado a um conjunto ao qual ele pertence e 
>pertenceria a M ao mesmo tempo. Mas se y não pertence a M, ele está 
>associado com um conjunto ao qual ele não pertence e ao mesmo pertence a 
>C, logo por definição deve pertencer a M. Então o fato de M ter algum 
>elemento associado a ele (qualquer elemento) é contraditório e logo M não 
>está associado a nenhum elemento de C. Absurdo!
>
>Logo as cardinalidades de C e P são diferentes e portanto a cardinalidade 
>de P é maior que a de C.
>CQD.
>
>-A minha dúvida é a seguinte: Ele não deveria considerar a possibilidade 
>de que M pertencesse a P antes de começar a construir M?

Perdão, não entendi a sua dúvida.

M é subconjunto de C
P é o conjunto de todos os subconjuntos de C
Entao M pertence a P (e é por isso que faz sentido olhar para M como imagem 
pela suposta bijecao de algum elemento y de C)

>Encontrei a prova no livro abaixo e ela era atribuida a Georg Cantor:
>"The Art of Infinity"
>
>
>André T.
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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