Re: [obm-l] Al. linear

[Ricardo Bittencourt <ricbit@xxxxxxxxxxxx>]

tyum@zipmail.com.br wrote:

> 1) Seja V um espaço vetorial sobre R e suponha {v1,.....vn} contido em V
> é l. i. Se v=a1v1+....+anvn. a1,....,an pertence a R então {v-v1, v-v2,...v-vn}
> é l. i. se , e somente se, a1+a2+....an é diferente de 1.

	Faz tempo que não mexo com álgebra linear, mas vamos lá:

	(v-v1, v-v2, ..., v-vn) é l.i. se, se somente se,

	det | a1-1  a2   a3  ...  an  | = 0
	    |  a1  a2-1  a3  ...  an  |
	    |  a1  a2   a3-1 ...  an  |
	    | ...  ...  ...  ... ...  |
	    |  a1   a2   a3  ... an-1 |

	Subtraindo a primeira linha das demais:

	det | a1-1  a2   a3  ...  an  | = 0
	    |  1    -1   0   ...   0  |
	    |  1    0   -1   ...   0  |
	    | ...  ...  ...  ... ...  |
	    |  1    0    0   ...   -1 |

	Somando cada coluna com a primeira:

	det |  k   a2    a3  ...  an  | = 0
	    |  0    -1   0   ...   0  |
	    |  0    0   -1   ...   0  |
	    | ...  ...  ...  ... ...  |
	    |  0    0    0   ...   -1 |

	onde k = a1+a2+a3+...+an-1

	Agora eu reduzo o grau da matriz pela coluna 1:

	k.det | -1 0  0  ... 0  | =0
	      | 0  -1 0  ... 0  |
	      | 0  0  -1 ... 0  |
	      | ..............  |
	      | 0  0  0 ...  -1 |

	(as outras matrizes são multiplicadas por zero, então
nem as descrevi).

	A matriz que sobrou é diagonal, seu determinante
é o produto dos elementos da diagonal: (-1)^(n -1).

	Logo a equação final reduz-se a:

	k. (-1)^(n-1)=0

	k=0 (o sinal é irrelevante)

	a1+a2+a3+...+an-1=0

	a1+a2+a3+...+an=1 QED

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Ricardo Bittencourt                   http://www.mundobizarro.tk
ricbit@700km.com.br           "tenki ga ii kara sanpo shimashou"
------ União contra o forward - crie suas proprias piadas ------

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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