[obm-l] Re: Língua pátria

["Augusto Cesar de Oliveira Morgado" <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Tenho lido as mensagens a respeito desse assunto...
Tenho lido as mensagens sobre este tema...


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---------- Original Message -----------
From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wed, 17 Dec 2003 10:43:00 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: Conjuntos não-enumerá veis vs. dens os

> On Wed, Dec 17, 2003 at 09:45:50AM -0200, Artur Coste Steiner wrote:
> > Para este interessante problema, eu pensei um pouco mais, baseado na
> > observacoa do pedro, e cheguei aa seguinte prova, para a qual peco a 
opiniao
> > dos colegas.
> > Seja P o conjunto dos pontos de condensacao de S (pontos tais que qualquer
> > vizinhanca do mesmo intersecta S segundo um conjunto nao enumeravel). 
Como R
> > eh um espaco metrico separavel, P nao eh enumeravel, sendo portanto
> > infinito. Se x pertence a P, entao o interior de qualquer intervalo 
fechado
> > de comprimento positivo que contenha x tem com S uma interseccao nao
> > enumeravel, logo infinita. Se x<y pertencem a P, entao (x,y) contem
> > infinitos (na realidade, incontaveis) elementos de P, logo de S. Isto 
prova
> > que S contem um subconjunto denso no sentido da definicao apresentada pelo
> > colega Domingos. Achao que este eh o ponto que faltava para fechar a 
prova.
> 
> Tenho lido as mensagens deste thread (como o Morgado diz isso
> em lingua pátria?) mas não escrevi nada até agora pq estava
> claro para mim que outras pessoas tinham mandado soluções
> corretas (por exemplo, a do Pedro Antonio Santoro Salomao),
> apesar de um pouco longas e pq eu também não sabia dar uma solução
> mais curta.
> 
> Esta solução usando o conceito de ponto de condensação fica bem
> mais curta, mas será que quem mandou a pergunta sabe o que é
> um ponto de condensação e acompanha a frase "como R é separável,
> P é não enumerável"? E de qq maneira não está exatamente correta,
> você precisa tomar apenas os pontos de condensação bilaterais.
> Senão, podemos ter P = S = [0,1] U [2,3]. Relembrando, x é um ponto
> de condensação bilateral de S se a interseção de S com qualquer intervalo
> da forma (x,x+eps) ou da forma (x-eps,x) é não enumerável.
> O resultado (verdadeiro) que você precisa usar é o de que se S é
> não enumerável e Q é o conjunto dos pontos de condensação bilineares
> de S então a interseção T entre S e Q é não enumerável e denso
> (no sentido do problema original: se x < y pertencem a T então
> existe z em T, x < z < y).
> 
> Repensando, a minha recomendação de solução seria a seguinte.
> 
> Seja S um subconjunto não enumerável de R.
> Considere todos os intervalos (a,b) tais que a e b são recionais
> e a interseção se (a,b) com S é enumerável. Como só existe uma
> quantidade enumerável de intervalos deste tipo a interseção da união
> de todos eles com S ainda é enumerável. Seja S' a interseção de S
> com K, o complemento da união destes intervalos. Claramente S'
> é não enumerável e K é um conjunto perfeito (i.e., fechado sem
> pontos isolados). Além disso, se um intervalo aberto I intersecta K
> então a interseção de I com S' é não enumerável. O conjunto fechado K
> tem um número finito ou infinito enumerável de extremos (i.e,
>  extremos de um dos intervalos abertos disjuntos que compõe o 
> complemento de K): jogue fora estes pontos de S' para obter S'': 
> este é o conjunto não enumerável denso pedido. De fato, se x < y 
> estão em S'' então o intervalo
> (x,y) intersecta K, donde intersecta S' em um conjunto não 
> enumerável, donde intersecta S'' em um conjunto não enumerável.
> 
> []s, N.
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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