[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinomio divisivel por m

[yurigomes@xxxxxxxxxxxxxx]

 Pronto! Soh um detalhe. O argumento que fiz abaixo mostra que existe n
tal que f(n)=0 (mod p) qdo p é diferente de 13 e 17. Para completar essa
parte, basta observar que 
 (17/13) = (4/13) = (2/13)^2 = 1.
e que pela lei de reciprocidade quadrática:
 (13/17)= (-1)^(6x8).(17/13) = 1.
 Para o caso de achar n tal que f(n)= 0 ( mod p^k), vamos usar o seguinte
lema:
  Seja f(x) in  Z[x] e A um inteiro que não  divide o coeficiente líder
de f. Se existe n tal que f(n)= 0 (mod A) e  f´(n) != 0 (mod A), então para
todo k natural existe n_k tal que 
     f(n_k)= 0 (mod A^k).
 Daí, basta ver que os m que encontramos no argumento inicial satisfazem
o lema, e o resultado segue.  

 Ateh mais, 
 Yuri
-- Mensagem original --

>  Oi Claudio,
>  Seja f o polinômio. Acho que uma ideia eh a seguinte: Se m= prod (i=1
>até k) (p_i^(a_i)), basta verificarmos que existem n_1,..., n_k tais que
>
>  f(n_i) = 0 (mod p_i^a_i), 
> pois tendo isso o teorema chinês dos restos ganrante que existe m satisfazendo:
>  m = n_1 ( mod p_1^a_1)
>   .
>   . 
>   .
>  m = n_k ( mod p_k^a_k)
> e como a = b ( mod T ) => f(a) - f(b) ( mod T ), o resultado segue. 
>  Basta então se preocupar com os primos. Isso eu acho que dah pra mostrar
>por indução. Observe o seguinte:
>  p=2: basta tomar x ímpar.
>  p>2: vamos usar residuos quadráticos. Seja (a/p) in {-1, 0, 1} o simbolo
>de Legendre. Então: 
>  (13/p).(17/p)(221/p)=(13^2/p).(17^2/p)= 1.
>  Logo, como temos três fatores, algum deles é igual a 1, pois caso contrario
>(13/p).(17/p)(221/p) = (-1)(-1)(-1) = -1
>  Suponha que tal fator seja (13/p). Então existe n tal que n^2 - 13 =
0
>( mod p ). 
>  Para potências maiores de p, eu vou pensar um pouquinho!
> Ateh mais, 
>  Yuri
>
>-- Mensagem original --
>
>>Oi, pessoal:
>>
>>Aqui estah um problema levemente relacionado com o problema 1 da OBM nivel
>>3
>>desse ano (3a. fase):
>>
>>Prove que, para todo inteiro m (m <> 0), existe um inteiro x tal que:
>>P(x) = (x^2 - 13)*(x^2 - 17)*(x^2 - 221)
>>eh divisivel por m.
>>
>>(ou seja, pra quem conhece congruencias, P(x) == 0 (mod m) tem solucao
>para
>>todo m <> 0)
>>
>>Um abraco,
>>Claudio.
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>[]'s, Yuri
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