[obm-l] Re: [obm-l] Polinomio divisivel por m

[yurigomes@xxxxxxxxxxxxxx]

  Oi Claudio,
  Seja f o polinômio. Acho que uma ideia eh a seguinte: Se m= prod (i=1
até k) (p_i^(a_i)), basta verificarmos que existem n_1,..., n_k tais que

  f(n_i) = 0 (mod p_i^a_i), 
 pois tendo isso o teorema chinês dos restos ganrante que existe m satisfazendo:
  m = n_1 ( mod p_1^a_1)
   .
   . 
   .
  m = n_k ( mod p_k^a_k)
 e como a = b ( mod T ) => f(a) - f(b) ( mod T ), o resultado segue. 
  Basta então se preocupar com os primos. Isso eu acho que dah pra mostrar
por indução. Observe o seguinte:
  p=2: basta tomar x ímpar.
  p>2: vamos usar residuos quadráticos. Seja (a/p) in {-1, 0, 1} o simbolo
de Legendre. Então: 
  (13/p).(17/p)(221/p)=(13^2/p).(17^2/p)= 1.
  Logo, como temos três fatores, algum deles é igual a 1, pois caso contrario
(13/p).(17/p)(221/p) = (-1)(-1)(-1) = -1
  Suponha que tal fator seja (13/p). Então existe n tal que n^2 - 13 = 0
( mod p ). 
  Para potências maiores de p, eu vou pensar um pouquinho!
 Ateh mais, 
  Yuri

-- Mensagem original --

>Oi, pessoal:
>
>Aqui estah um problema levemente relacionado com o problema 1 da OBM nivel
>3
>desse ano (3a. fase):
>
>Prove que, para todo inteiro m (m <> 0), existe um inteiro x tal que:
>P(x) = (x^2 - 13)*(x^2 - 17)*(x^2 - 221)
>eh divisivel por m.
>
>(ou seja, pra quem conhece congruencias, P(x) == 0 (mod m) tem solucao
para
>todo m <> 0)
>
>Um abraco,
>Claudio.
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>

[]'s, Yuri
ICQ: 64992515


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