[obm-l] Re: [obm-l] Re: PG (questão sem propósito)

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Uma solucao mais formal e  menos criativa de acharmos a soma desta serie eh
observando que, para cada n, o termo da série eh o valor para x=1/2 de a_n =
n*x^(n-1).  Observamos que cada a_n eh a derivada com relacao a x de x^n. A
serie de potencias (no caso, uma serie geometrica)  Soma (x^n), n=0,1,...
converge, para |x|<1, para o conhecido limte 1/(1-x). Pelas propriedades das
series de potencia, isto acarreta que, tambem para |x|<1, a serie obtida
derivando-se termo a termo a serie original (que eh justamente a serie em
questao) convirja para d/dx[1/(1-x)] = [1/(1-x])^2. Como |1/2|<1, o
resultado procurado eh obtido fazendo-se x=2 nesta ultima expressao, o que
leva ao valor de 4. Acho que aqui tambem hah alguma criatividade ao se
observar que a soma procurada eh a derivada de uma soma geometrica...
Contrariamente ao titulo da mensagem, acho que esta questao tem proposito. E
a solucao apresentada pelo colega eh muito bonita. Talvez sem se dar conta,
ele usou algumas propriedades interessantes de series absolutamente
convergentes.,  ao  tomar limites de subseries e achar o limite da serie dos
mesmos.

Um abraco
Artur
Um abraco
Artur



Oi Nelson,

> Muitas vezes fico frustado com a matemática quando encontro uma questão,
fico
> me matando resolvê-la a partir dos conceitos e definições expostos, e
quando
> vou ver a resolução, ela é resolvida através de pura tentativa e erro.
Pois
> bem, aí vai a questão:
>
> Calcule a soma da série 1 + 2/2 + 3/4 + 4/2 + 5/16 + ...
>
> Resolução:
> Decompomos os termos da série e os colocamos na disposição a seguir, onde
somamos coluna por coluna.
>
> 1 -> 1
> 2/2 -> 1/2 + 1/2
> 3/4 -> 1/4 + 1/4 + 1/4
> 4/8 -> 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8
> 5/16 -> 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16
>
> Somas das colunas: 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2/(1 - 1/2) = 4

Antes de mais nada acho que há um erro no enunciado.
O enunciado tem o termo 4/2 que é incompatível com a solução
apresentada, suponho que deveria ser 4/8.
Se for mesmo 4/2 não é nada claro pelos poucos termos apresentados
qual seria a lei de formação.

Mas eu gostaria principalmente de discordar da atitude que eu detecto,
talvez incorretamente, nesta mensagem. Os problemas de olimpíadas são
interessantes exatamente por exigirem que o aluno *procure* uma idéia
para resolvê-los. Este problema é interessante *apenas* para o aluno
que ainda não conhece um método para resolvê-lo e exatamente por isso
precisa fazer um "truque" como este que você mostrou. Para um aluno
que conheça um pouco mais de teoria (há montes deles nesta lista)
este problema é absolutamente rotineiro e por isso mesmo *desinteressante*.
Ou seja, o fato de a solução envolver o que você chama de "pura tentativa
e erro" é para mim exatamente o que torna o problema interessante.
Acho que outras pessoas envolvidas com olimpíadas de matemática concordariam
comigo. Claro que nada disso impede que se procure transformar o que um dia
foi um truque em um método; afinal, a diferença é sutil: acho que foi o
Knuth quem definiu um método como um truque que já foi usado com sucesso
pelo menos três vezes.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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