[obm-l] a^3 + b^3 + c^3 = 3abc

["Daniel Faria" <faria_mat@xxxxxxxxxxx>]

Pensei numa outra forma:

1)   a + b + c = 0
2)   P( a , b , c ) = a^3 + b^3 + c^3

Considerando em (1) a=0, temos c=-b. Em (2):

  P( 0 , b , -b ) = 0^3 + b^3 + (-b)^3 = 0

Assim P é da forma:

3) P( a , b , c ) = ( K1) . a

Considerando em (1) b=0, temos c=-a. Em (2):

  P( a , 0 , -a ) = a^3 + 0^3 + (-a)^3 = 0

Assim P é da forma:

4) P( a , b , c ) = ( K2) . b

Considerando em (1) c=0, temos b=-a. Em (2):

  P( a , -a , 0 ) = a^3 + (-a)^3 + 0^3 = 0

Assim P é da forma:

P( a , b , c ) = ( K3) . c

Concluo por (3),(4) e (5) que:

6) P( a , b , c ) = k.a.b.c

Substituo quaisquer valores nao nulos em a, b e c:
pode ser  (a = b = c = n )

2) P( n , n , n ) = n^3 + n^3 + n^3 = 3n^3
6) P( n , n , n ) = k.n.n.n = kn^3

Logo K=3

P ( a , b , c ) = 3abc

e finalmente:

a^3 + b^3 + c^3 = 3abc

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