[obm-l] Re: [obm-l] Auto-espaços

[bmat@xxxxxxxxxxxxxx]

Obrigado, Cláudio

Pensando um pouco mais, achei uns exemplos "patológicos" com autovetores
do tipo (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) que sejam autovetores de x, x,
e y respectivamente... talvez uma matriz da forma
x 0 0
0 x 0
0 0 y
e então a multiplicidade não é necessária... mas quanto à questão de ser
auto-adjunta, vou pensar mais um pouco.

Até mais,
Bernardo
-- Mensagem original --

>on 31.10.03 08:19, bmat@zipmail.com.br at bmat@zipmail.com.br wrote:
>
>> Bom dia, obm-l.
>> 
>> Bom, vou falar sobre uns assuntos de matemática universitária, qualquer
>> dúvida sobre terminologia podem perguntar!
>> 
>> É um fato conhecido sobre transformações lineares que os auto-espaços
>> pertencentes
>> a auto-valores distintos da transformação são independentes(ou seja,
a
>> intersecção
>> de dois quaisquer é o sub-espaço nulo). Em quais casos estes auto-espaços
>> são ortogonais? Existe alguma condição necessária e suficiente para isso?
>> Eu acho que se a multiplicidade algébrica dos auto-valores for sempre
1
>> dá para garantir, mas pode haver outros casos...
>> 
>> Obrigado pela ajuda,
>> Bernardo
>> 
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> 
>> 
>Oi, Bernardo:
>
>Considere T:R^2 -> R^2 dada por: T(x,y) = (x+y,2y).
>O polinomio caracteristico de T eh x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) ==> os
>autovalores 1 e 2 tem ambos multiplicidade algebrica 1 e os auto-espacos
>associados sao, respectivamente, aqueles gerados por (1,0) e por (1,1),
os
>quais nao sao ortogonais (pelo menos em relacao ao produto interno usual
>de
>R^2).
>
>Por outro lado, se T for auto-adjunto, entao acho que auto-espacos
>associados a autovalores distintos sao ortogonais, pois se
>Tv1 = k1v1 e Tv2 = k2v2, onde k1 e k2 sao autovalores distintos, entao:
>(k1 - k2)*<v1,v2> = <k1v1,v2> - <v1,k2v2> = <Tv1,v2> - <v1,Tv2> = 0, pois
>T
>eh auto-adjunto (um operador auto-adjunto tem autovalores reais).
>
>Infelizmente, nao tenho certeza de se a condicao de T ser auto-ajunto tambem
>eh necessaria.
>
>Um abraco,
>Claudio.
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>

Bernardo Freitas Paulo da Costa



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