Re: [obm-l] Auto-espaços

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 31.10.03 08:19, bmat@zipmail.com.br at bmat@zipmail.com.br wrote:

> Bom dia, obm-l.
> 
> Bom, vou falar sobre uns assuntos de matemática universitária, qualquer
> dúvida sobre terminologia podem perguntar!
> 
> É um fato conhecido sobre transformações lineares que os auto-espaços
> pertencentes
> a auto-valores distintos da transformação são independentes(ou seja, a
> intersecção
> de dois quaisquer é o sub-espaço nulo). Em quais casos estes auto-espaços
> são ortogonais? Existe alguma condição necessária e suficiente para isso?
> Eu acho que se a multiplicidade algébrica dos auto-valores for sempre 1
> dá para garantir, mas pode haver outros casos...
> 
> Obrigado pela ajuda,
> Bernardo
> 
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> 
Oi, Bernardo:

Considere T:R^2 -> R^2 dada por: T(x,y) = (x+y,2y).
O polinomio caracteristico de T eh x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) ==> os
autovalores 1 e 2 tem ambos multiplicidade algebrica 1 e os auto-espacos
associados sao, respectivamente, aqueles gerados por (1,0) e por (1,1), os
quais nao sao ortogonais (pelo menos em relacao ao produto interno usual de
R^2).

Por outro lado, se T for auto-adjunto, entao acho que auto-espacos
associados a autovalores distintos sao ortogonais, pois se
Tv1 = k1v1 e Tv2 = k2v2, onde k1 e k2 sao autovalores distintos, entao:
(k1 - k2)*<v1,v2> = <k1v1,v2> - <v1,k2v2> = <Tv1,v2> - <v1,Tv2> = 0, pois T
eh auto-adjunto (um operador auto-adjunto tem autovalores reais).

Infelizmente, nao tenho certeza de se a condicao de T ser auto-ajunto tambem
eh necessaria.

Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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