Re: [obm-l] Grupo Abeliano

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Oi Cláudio!

Seja G um grupo de n elementos não-abeliano. Defina o grupo H = G x G x ...
x G, onde é o produto é tomado n vezes e estamos falando em produto
cartesiano. Definimos a operação de grupo em H a multiplicação das
coordenadas correspondentes de dois elementos quaisquer. Esta operação herda
a associatividade de G, tem elemento neutro (e, e, ..., e) e todo elemento
tem único inverso (g_1,g_2,...,g_n)^(-1)=(g_1^(-1),g_2^(-1),...,g_n^(-1)).
Como G é não-abeliano existem g, h em G tais que gh é diferente de hg,
portanto (g,e,e,...,e)(h,e,e,...,e) é diferente de
(h,e,e,...,e)(g,e,e,...,e) e H é não-abeliano. H possui exatamente n^2
elementos. Agora considere os subgrupos

H_i = { (e,e,...,e,g,e,...,e) onde o g está na i-ésima posição : para g em
G} para 1 <= i <= n
e H_(n+1) = { (g,g,g,...,g) : para g em G }

Não é difícil de demonstrar que cada H_i é um grupo, subgrupo de H. Também
não é difícil de mostrar que cada um desses H_i possui exatamente n
elementos. Ou seja, o que está sendo pedido para demonstrar não é verdade.

Abraço,
Duda.



From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> Oi, pessoal:
>
> Me mandaram esse problema ontem e ainda nao consegui fazer:
>
> Um grupo G de ordem n^2 tem n+1 subgrupos de ordem n tais que a
interseccao
> de quaisquer dois deles eh a trivial (ou seja, igual a {e}). Prove que G
eh
> abeliano.
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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